LDPC码的基础(1)

   低密度奇偶校验(low density parity-check, LDPC)码最早由Gallager在1962年提出，后来在1996年被MacKay等人重新发现，并被证实在置信传播(belief propagation, BP)译码算法下具有接近香农限的性能。相对于Turbo码，LDPC码具有更低的误码平底，译码复杂度相对较低，可以实现完全的并行译码操作，抗干扰能力强，吞吐量较大。因此，LDPC码在光纤通信，深空通信，数字水印，磁存储，闪存等方面得到了广泛的应用。

   在LDPC码的构造领域，如果一个LDPC码的校验矩阵有统一的列重p和统一的行重m，则称此LDPC码为(p,m)规则码，否则称为非规则LDPC码。绝大部分的LDPC码的构造方法都可以分为两类，即基于代数方法的结构化构造和基于图的随机化构造。其中代数方法主要是基于有限域或有限几何的，而图方法主要较为流行的有渐进边增长(progressive edge growth, PEG)算法以及原模图(protograph)方法。另外，X. Mu等人提出了将代数方法和随机方法结合的构造方法。

    通常，随机化方法构造的LDPC码在构造的过程中会尽可能地减少短环，因此由比较好的译码性能。PEG算法是其中最具代表性的，许多基于PEG的改进方法也相继被提出，这些方法引入了外信息度数(extrinsic message degree, EMD)或者近似环外信息度数(approximate cycle EMD, ACE)等属性来进一步提升LDPC码的性能。EMD与ACE强调除了环的长度还有其与剩余图的连通性会影响着误码平底。在构造的过程中，一些连通性较好的短环是准许存在的，同时，连通性差的较长的环是禁止生成的。在构造过程中加入EMD或ACE属性，PEG等随机方法可以减少Tanner图中的停止集(stopping set, SS)和陷阱集(trapping set, TS)等和环有关的结构，降低LDPC码的误码平底。然而，几乎所有的基于图的随机方法在构造的过程中，都具有一定的贪婪性，以PEG算法为例，其在添加边时尽可能地去增大当前节点的本地围长(local girth)，每一次添加的边只对当前Tanner图是最优的，先添加的那些边在添加时有更多的可选检验节点，而后添加的那些边的可选校验节点十分有限，这会使得有些变量节点的本地围长非常小，这一点在高码率情况下尤为突出。相比随机LDPC码，准循环LDPC码由于其特殊结构，有着更低的编译码硬件实现复杂度。准循环LDPC码的编码可用简单的移位寄存器实现，同时，其准循环结构简化了译码器中的布线和消息传递。而且，好的准循环LDPC码有着比肩随机LDPC码的纠错性能。这些优点使得准循环LDPC码成为LDPC码应用的主流。

   在LDPC码的译码算法领域，研究人员的主要目的是提出一种不仅译码复杂度低，同时保持优异性能的LDPC译码算法。很多译码算法都是基于Davey和Mackay最早提出的概率域的译码算法。Richardson和Urbanker基于概率译码利用傅里叶变换降低复杂度，提出了一种不仅保持了译码性能同时降低了计算复杂度的快速译码算法。Wymeersch，Steendam和Moeneclaey提出了在对数域上的和积译码算法，这种译码算法从应用角度来看具有比概率域译码算法更突出的表现。Zhang等人提出了适合高码率LDPC码的译码算法。

【参考文献】

[1] IEEE standard for information technology–Telecommunications and information exchange between systems local and metropolitan area networks–Specific requirements - Part 11: Wireless LAN medium access control (MAC) and physical layer (PHY) specifications [S]. IEEE Std 802.11-2016 (Revision of IEEE Std 802.11-2012), Dec. 2016: 3293-3295.

[2] T. J. Richardson and R. L. Urbanke. The capacity of low-density parity-check codes under message-passing decoding [J]. IEEE Transactions on Information Theory, Feb. 2001, 47(2):599-618.

[3] H. Wymeersch, H. Steendam, and M. Moeneclaey. Log-domain decoding of LDPC codes over GF(q) [C]. IEEE Conference on Communications, Jun. 2004, 2: 772-776.