算法系列--打印素数(详解)

继续算法之旅。关于素数判定这个问题，也是一个很经典的程序设计题目。

概念：质数（prime number）又称素数，有无限个。一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数，否则称为合数。

朴素法

分析：如果要判定一个数自然数n（n>1）是不是素数，从素数定义出发，首先想到的肯定是采用循环，遍历 2至n-1所有值，逐个与n除，判定是否可以整除，如果存在能够整除的情况，则n不为素数。

改进方法：脱离单纯程序实现的角度，你会发现可以改进的地方在于遍历的范围，如果略作思考，你会发现n/2到n-1的值是不用遍历的，因为最小的试探除数是2，大于n/2的数肯定不能被整除。进一步思考，遍历的范围还可以继续缩小，其实只需将遍历的上限设置成n的平方根即可。简单分析，假设 n可以被p整除，结果为q ,即q=n/p,如果p大于n的平方根，q必定小于n的平方根，所以只要测试n的平方根以下的数字即可，这样可以进一步提高运算效率。

以下是代码：

public class Prime {
	/**
	 * 打印1-100的素数
	 * 
	 * @param args
	 */
	public static void main(String[] args) {
		for (int i = 1; i <= 100; i++)
			if (isPrime(i))
				System.out.println(i);

	}

	public static boolean isPrime(int num) {
		if (num == 1)
			return false;
		int max = (int) Math.sqrt(num);
		for (int i = 2; i <= max; i++)
			if (num % i == 0)
				return false;
		return true;
	}
}

筛数法

　　筛数法求素数的基本思想是：把从1开始的、某一范围内的正整数从小到大顺序排列， 1不是素数，首先把它筛掉。剩下的数中选择最小的数是素数，然后去掉它的倍数。依次类推，直到筛子为空时结束。

具体做法如下：
<1> 先将1挖掉(因为1不是素数)。
<2> 用2去除它后面的各个数，把能被2整除的数挖掉，即把2的倍数挖掉。
<3> 用3去除它后面的各数，把3的倍数挖掉。
<4> 分别用4、5…各数作为除数去除这些数以后的各数。（事实上，可以简化，如果需要找1～n范围内素数表，只需进行到除数为n^2(根号n)，取其整数即可。例如对1～50，只需进行到将50^2作为除数即可。）

如上算法可表示为：
<1> 挖去1;
<2> 用刚才被挖去的数的下一个数p去除p后面各数，把p的倍数挖掉;
<3> 检查p是否小于n^2的整数部分（如果n=1000, 则检查p<31?），如果是，则返回(2)继续执行，否则就结束;
<4> 纸上剩下的数就是素数。

特别说明：为什么除数的筛选范围只到问题规模N的平方根即可？因为通过分析可以知道，当除数的范围大于这个上限（N的平方根取整）时，所有的要筛选的值都和之前筛选过的重复，继续筛选无效。

代码如下：

/**
	 * 删选法求素数
	 * 
	 * @param N
	 */
	public static void isPrime2(int N) {
		int[] flags = new int[N + 1];
		for (int i = 0; i < N + 1; i++)
			flags[i] = i;
		flags[1] = 0;// 排除1,1不为素数
		int max = (int) Math.sqrt(N);// 设定N的除数的范围，小于N的平方根
		for (int i = 2; i <=max; i++) {
			for (int j = i + 1; j <= N; j++) {
				//筛选，将N的除数的倍数去掉
				if (flags[j] != 0 && flags[j] % i == 0) {
					flags[j] = 0;
				}
			}
		}
		for (int i = 1; i <= N; i++) {
			if (flags[i] != 0) {
				System.out.println(flags[i]);
			}
		}

	}

6N±1法求素数

　　任何一个自然数，总可以表示成为如下的形式之一：

　　6N，6N+1，6N+2，6N+3，6N+4，6N+5 (N=0，1，2，…)

　　显然，当N≥1时，6N，6N+2，6N+3，6N+4都不是素数，只有形如6N+1和6N+5的自然数有可能是素数。所以，除了2和3之外，所有的素数都可以表示成6N±1的形式(N为自然数)。根据上述分析，我们只对形如6 N±1的自然数进行筛选，这样就可以大大减少筛选的次数，从而进一步提高程序的运行效率和速度。

实现思路：可以和朴素法判定单个自然数是否为素数结合起来，利用循环递增获取指定范围具备6 N±1特征的数字，利用朴素法来判定数字是否为素数，打印出结果。

以下是代码

	/*
	 * 6N+1法求素数
	 */

	public static void isPrime3(int N) {
		if (N <= 1)
			System.out.println("此范围无素数");
		else if (N > 1 && N <= 2)
			System.out.println(2);
		else if (N > 2 && N <= 4) {
			System.out.println(2);
			System.out.println(3);
		} else {
			System.out.println(2);
			System.out.println(3);
			int k = 1, pre = 0, next = 0;
			while (true) {
				pre = 6 * k - 1;
				next = 6 * k + 1;
				if (isPrime1(pre) && pre <= N)
					System.out.println(pre);
				else if (pre > N)
					break;
				if (isPrime1(next) && next <= N)
					System.out.println(next);
				else if (next > N)
					break;
				k++;
			}
		}
	}

特别说明：以上只给出代码样例，并不能保证代码的权威性，加之作者水平有限，难免有不足之处，还望大家多多包涵。