高等数学导学 | 九七的高等数学

学科

高等数学（以数二为基准，后续会补充）

我比较放肆和大胆的说一句，很多人学数学根本就没有学懂，只知道个公式，会解几道题，这样的学习跟背书没什么区别。哪怕对于应试，这样也拿不到高分。学习本就是X+1的过程，数学更是如此，少了一环，对后面来说都有极大的影响。
学数学，第一个是认知，这是学数学的前提。没有一个系统的认知，就不能很好的掌握基础，学到最后结果就是基础不牢，地动山摇。第二个是方法，这个后面具体会说。第三个就是针对高等数学这门课的知识体系。以后的学习过程中，我用的最多的办法就是举例子，这是我学习过程中觉得最容易接受、理解的办法，也希望这个办法能够让你们受益。

认知数学

在数学学习之前，先让大家理解一下概念、性质、定义、定理这几个概念。不论是应试，还是将来要从事科研方面的工作，知道这些都大有裨益。

概念和定义是比较容易混淆的，就先说它们。概念是反应事物本质属性的思维产物，可以理解为人对于一个未知的事物进行思维具体化的结果；定义是对某个名称或者术语的含义加以描述。区别就在于定义可以引用已经认可的概念，但不能引用尚未定义的新概念。比如，苹果在未被命名前，是客观存在的一个事物，当人们发现它之后，经过仔细研究，发现这种果子具有一些固定的属性，于是人们把它命名为苹果，这就可以称为苹果的概念。经过漫长的发展，人们又发现了香蕉、橘子等，为了给这一类事物一个明确的名称，将满足某些条件的一类事物进行了定义，就称它们为水果，这就是水果的定义。也就是说，水果这个名词是人为的对香蕉、橘子等一类事物的命名，不能算创造，只能算总结。
其实在数学学习当中，概念和定义，都可以理解为对名词的解释。只不过概念更加基础，定义是在概念基础上的延伸。再举个例子，先有了函数的概念，才能去定义基本初等函数，才有接下来对初等函数的定义。简单来说就是，先有定义，才有概念。

性质就比较好理解了，数学上就表示数学表观和内在所具有的特征，一种事物区别于其他事物的属性。比如，平面三角形三个角和为180，不管三角形多大多小，都有这个特征，这就是它的一个性质。

定理的意思就是在知道了概念、定义、和性质的前提下，可能再加上一些其他概念、定义和性质进行推导、证明出来的结论，就是定理。比如，内错角相等、平行内角互补等定理。可能上面举的这两个例子大家觉得不需要证明，但在数学历史上，它们都是通过证明才得到的。

数学当中还有一些准则、原理等名词，大家都理解成定理就好了。他们有区别，但是区别不大，要是加上这些，可能大家得晕，就不赘述了。如果是数学专业的同学，那你自行去理解，或者我们私下探讨也是可以的。
为什么要说这些奇奇怪怪的东西呢？因为你理解了这些，有了对数学的认知，才有了更加高效学习方法，才能够更加透彻的理解数学。

上述可能有些烦琐了，简单举个例子就是：
概念：这是苹果
性质：苹果是甜的
定义：苹果、橘子、香蕉等统称为水果
定理：两个苹果是榨出一杯果汁的充分不必要条件，即两个苹果能推出能榨出一杯果汁的结论（但一杯果汁推不出是两个苹果榨出来的）

学习方法

理解

就是理解概念、定义、性质、定理。打个比方，知道函数的概念（即什么是函数）；知道初等函数的定义（即什么是初等函数）；知道X的平方这个函数的性质（即X平方这个函数有奇偶性，是个偶函数，有f（-x）=f（x））；知道函数的最值定理（即函数在闭区间连续可以推出函数在闭区间一定有最大最小值）。每一条定理都是证明出来的，如果追求高分的话，那还学会如何证明。当然，对于应试，有些定理，我们记住即可，不一定需要推理证明。

记忆

只是知道也不行啊，万一你记不住咋办，考试也不让你看书。所以记忆是必不可少的。

做题

做题是你应用所学知识的必要途径，和你学计算机做项目一样，可以检测你有哪些东西没记住，帮你更好的记住所学的东西。我们学的，毕竟只是基础，可能在用的时候，题目必须用一些奇奇怪怪的方法才能解出来。就好比我们学会了拧螺丝，但是如果这个螺丝需要左拧一下，右拧一下才能拧下来，刚学会拧螺丝的学徒十有八九拧不下来，这时候如果你经验丰富，以前拧过很多螺丝，见过这种螺丝，那不就可以搞定它啦。

方法总结

对于我们来说，要做的就是理解概念，牢记定义和性质，推出定理即可。当然，对于应试，有些定理，我们记住即可，不一定需要推理证明。

整体思路

如果预习或者学习过高等数学的同学，不难发现，这门课就基于两个概念进行操作的，一个是函数，另一个就是方程。看下图，函数推出极限的定义，极限推出微分的定义，微分又推出积分的定义。再加上一个带有微分的方程。整个高等数学的内容，基本上都是围绕这些展开的。往后我们学的那些定理、性质，等于是用它们操作函数，操作方程，证明、求值等，不外乎就这些。高等数学的用处很多，我就不在这展开了。毕竟我们还是以学习这门课为主。

参考：网络内容
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