高等数学：第五章 定积分（1）概念与性质 中值定理 微积分基本公式
§5.1 定积分的概念
一、从阿基米德的穷竭法谈起
【引例】从曲线与直线，， 所围图形的面积。
如图：在区间 上插入 个等分点 ，得曲线上点 ，过这些点分别向轴，轴引垂线，得到阶梯形。它们的面积分别为：
故可得到面积值为
为了便于理解阿基米德的思想，我们先引入曲边梯形的概念。
所谓曲边梯形是指这样的图形，它有三条边是直线段，其中两条是平行的，第三条与前两条垂直叫做底边，第四条边是一条曲线弧叫做曲边，这条曲边与任意一条垂直于底边的直线至多只交于一点。
根据这一定义，引例所求图形的面积便是一个曲边梯形的面积。运行程序gs0501.m，可更深刻地了解阿基米德穷竭法思想。
二、曲边梯形的面积计算
设连续函数，求由曲边，直线，及 轴所围成的曲边梯形的面积。
如图，在区间上任意地插入个分点
区间分划成 个小区间 ，且记小区间的长度为
过每个分点作平行于轴的直线段，这些直线段将曲边梯形分划成个窄小的曲边梯形，用记第 个窄小的曲边梯形的面积。
(由于曲边梯形的高在上是连续变化的，在很短小的一段区间上它的变化也很小，即可近似地视为不变。因此，在每个小区间上，可用其中某一点的高来近似代替该小区间上小曲边梯形的变化高，用相应的小矩形面积来近似小曲边梯形的面积。)
具体地
对第 个窄小曲边梯形，在其对应区间上任意地取一点，以作为近似高，以矩形面积近似。
即
于是，
很明显地
小区间的长度越小，近似程度就越好；要使得近似程度越好，只需都越来越小。因此，为了得到面积的精确值，我们只需将区间无限地细分，使得每个小区间的长度都趋向于零。
若记 ，则每个小区间的长度趋向于零价于 。
从而 (1)
三、变速直线运动的路程
设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔上的连续函数，且，求物体在时间间隔内所经过的路程。
在时间间隔内任意地插入个分点
将分划成个时间区间
各时间区间的长度依次为
记各时间区间内物体运动所经过的路程依次为
在时间间隔， 物体所经过的路程的近似值为
即：将物体在上的速度视为不变的，以来近似代替。很自然地，当这一时间间隔段很短时，这种近似是合理的。
于是可给出的近似值
为得到的精确值， 只需让每个小时间间隔段的长度均趋向于零。
若记
则 (2)
上述两例， 尽管其实际意义不同， 但有两点是一致的。
1、曲边梯形的面积值由高及的变化区间来决定；
变速直线运动的路程由速度及的变化区间来决定。
2、计算与的方法、步骤相同，且均归结到一种结构完全相同的和式极限。
抛开这些问题的具体实际意义， 抓住它们在数量关系上共同的本质加以概括， 我们可给出定积分概念。
四、定积分的定义
设函数在上有界， 在中任意插入个分点
把区间分划成 个小区间
各区间的长度依次为
在每个小区间上任取一点 ，
作函数值与小区间长度的乘积
作和式
记
若不论对区间上怎样的分法，
也不论对小区间上的点怎样的取法，
只要当时， 和总趋向于确定的值，
我们称这个极限值为函数在区间上的定积分。
记作
即
其中叫做被积函数；叫做被积表达式；
叫做积分变量； 叫做积分区间；
叫做积分下限； 叫做积分上限；
叫做在上的积分和式。
如果在上的定积分存在，我们就说在上可积。
对定积分的定义， 我们给出两点重要的注解：
1、定积分的几何意义
在上，时，表示由曲线，直线、与轴所围成的曲边梯形的面积。
在上，时，表示该曲边梯形面积的负值。
因此，定积分是一个数值。
2、定积分与积分变量无关
由定积分的几何意义可知：
定积分与被积函数及积分区间有关。
如果既不改变被积函数，也不改变积分区间 ，而只是将变量改写成其它字母，如或，这时定积分的值仍不变。即有
五、定积分的存在定理
【定理一】设在区间上连续， 则在上可积。
【定理二】设在区间上有界， 且只有有限个间断点， 则在上可积。
六、用定义求定积分的典型例子
【例1】 求
解：是连续的，故 存在。
为便于计算， 将区间上分划成等分 ， 即取分点为
这样，小区间的长度为 ，再取
积分和式为
将表达式写成一个紧凑的形式：
从而
此例告诉我们这样的信息：
1、用定积分定义来计算定积分的确不方便，有必要寻找简捷而有效的计算方法；
2、，也反映了定积分几何意义的正确性。
§5.2 定积分的性质、中值定理
规定：
1、时，
2、时，
这两条规定的意义较直观。
当时，曲边梯形退缩成一段线， 故其面积应该为零；
当时，区间所对应的分点成为
相应的小区间的长度 。
此时，相对于，的符号应相反。
声明：在下面的讨论中， 对积分上下限的大小均不加以限制，并假定各性质中所列出的定积分均存在。
【性质一】函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)。
即：
证明：
显然，性质一对于任意有限个函数也是成立的。
【性质二】被积函数的常数因子可以提到积分号外面。
即： ( 是常数因子 )
证明：
【性质三】如果将积分区间分成两部分， 则在整个区间上定积分等于这两个区间上定积分之和。
即： ( * )
这一性质的几何意义十分明显。如图，曲边梯形的面积有：
此性质表明，定积分对于积分区间具有可加性。其实，无论三个数的相对位置如何，等式( * )总是成立的。
例如：当时， 有
【性质四】如果在区间上，，则。
【性质五】如果在区间上，，则 。
据定积分几何意义，它是一个曲边梯形真正的面积值，故它应为非负的。
【推论一】如果在区间上，，则
事实上， 由 ， 据 性质五 与 性质一 有
【推论二】
证明：
由推论一有：
即：
【性质六】设及分别是函数在区间上的最大值及最小值，
则
证明：
则
这一性质可用来估计定积分值的范围，它也具有鲜明的几何意义。
【性质七】( 定积分的中值定理 )
如果函数在闭区间上连续， 则在上至少存在一点，
使得
证明：据性质六有
数值 介于连续函数在上的最小值与最大值之间， 再由闭区间上连续函数的介值定理， 在 上至少存在一点 ，使得
。
积分中值公式的几何解释
利用计算机编写程序gs0502.m，对定积分
进行数值计算试验，我们可验证定积分中值定理的正确性。运行该程序时，注意建立被积函数的函数文件f.m
§5.3 微积分基本公式
一、积分上限的函数及其导数
设函数在区间上连续，并设为上的一点，考察在部分区间上的积分
这一特殊形式的积分有两点应该注意：
其一、因在连续，该定积分存在。此时，变量“ 身兼两职 ”，既是积分变量，又是积分的上限。
为了明确起见，将积分变量改用其它符号如来表示，这是因为定积分与积分变量的选取无关。上面的定积分改写成下述形式
其二、若上限在上任意变动，则对应于每一个取定，该定积分有一个对应值。所以，它在上定义了一个新的函数， 记作
称为以积分上限为变量的函数( 简称变上限函数 )。
是否确有这类函数?
观察一个例子,正态曲线在上的变上限函数为
它表示一个曲边梯形的面积。运行程序gs0503.m，可分别作出，在上的图象
这表明，确实是一个新的函数。
【定理一】如果函数在区间上连续， 则变上限函数
在上具有导数，且它的导数是
证明：当上限获得增量时， 在处的函数值为
由此得函数的增量
据积分中值定理：
在与之间
即：
定理一表明：是的一个原函数。因此，我们便有下面原函数的存在性定理。
【定理二】如果函数在区间上连续， 则函数
就是在上的一个原函数。
定理二的重要意义在于：
其一、肯定了连续函数的原函数的存在性。
其二、揭示了定积分与原函数之间的联系。 使得定积分的计算有可能通过原函数来实现。
二、牛顿-莱布尼兹公式
【定理三】设在上连续， 是在上的任一原函数
则
证明：与均是在上的原函数
则 ( 为常数， )
令 ，
而
故
从而
即
若令， 得：
为了方便，今后记 或 。
最后，我们提醒一句，微积分基本公式时，一定要注意条件：
是在区间上的原函数。
【例1】计算 与
解：
注：当初阿基米德用穷竭法计算定积分，可是费了不少功夫，可如今变得简单多了，这得益于微积分基本公式。
【例2】设在内连续，且，证明函数
在内为单调增加函数。
证明：
由假设， 在 上 ， ， 故
， ，
从而， 在 上是单增的。
【例3】求极限
解：这是一个型的不定式，可用罗必达法则来计算，分子可写成
它是以为上限的函数， 作为的函数， 它可视作以为中间变量的复合函数， 故
注明：试图用牛顿 -- 莱布尼兹公式计算定积分的思路是不可取的。这是因为不具有有限形式的原函数。
公元前的古希腊数学家阿基米德最先具有定积分的初步思想方法，而明确提出定积分概念却是由牛顿(英1642 - 1727)与莱布尼兹(德1646-1716)共同完成的。 而当时的定积分理论基础尚不严谨， 甚至连个严格的定义都没有。直到(1826 - 1866)德国数学家黎曼给出了今天的定积分严格定义。
这一事实表明：一个科学概念从萌芽、诞生到成熟需要经历很长时间。 因此，列宁称“ 自然科学的生命是概念 ”再恰当不过了。
定积分的符号 是由莱布尼兹首先引用的。其含义是：定积分的实质是求积分和式的极限，英文中求和一词是Sum，将S拉长变成了。显然，符号从外形到含义均表达了“求和”的涵义，堪称“形意兼备”。莱布尼兹在微积分中引用的符号系统：
彼此之间有联系，又各自表达不同的意义，可以说十分先进。现代计算机数学软件所采用的符号系统便是莱布尼兹所定义的，由这一点可看出先进的符号体系是重要的。
我国古代数学尽管历史悠久，但发展缓慢，其中一个重要的原因是符号落后。象著名的“勾股定理”也仅被表述成：勾三股四弦五，即：
在计算机编程中，合理有效地使用符号与变量的名称更是一个不容忽视的大问题。
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