高等数学:第五章 定积分(1)概念与性质 中值定理 微积分基本公式

§5.1  定积分的概念

一、从阿基米德的穷竭法谈起

【引例】从曲线与直线 所围图形的面积

 如图:在区间  上插入  个等分点 ,得曲线上点 ,过这些点分别向轴,轴引垂线,得到阶梯形。它们的面积分别为:

 

 

 

故可得到面积值为  

为了便于理解阿基米德的思想,我们先引入曲边梯形的概念。

所谓曲边梯形是指这样的图形,它有三条边是直线段,其中两条是平行的,第三条与前两条垂直叫做底边,第四条边是一条曲线弧叫做曲边,这条曲边与任意一条垂直于底边的直线至多只交于一点。

根据这一定义,引例所求图形的面积便是一个曲边梯形的面积。运行程序gs0501.m,可更深刻地了解阿基米德穷竭法思想。

二、曲边梯形的面积计算

设连续函数,求由曲边,直线及 轴所围成的曲边梯形的面积

如图,在区间上任意地插入个分点

区间分划成  个小区间 ,且记小区间的长度为

过每个分点作平行于轴的直线段,这些直线段将曲边梯形分划成个窄小的曲边梯形,用记第  个窄小的曲边梯形的面积。

(由于曲边梯形的高在上是连续变化的,在很短小的一段区间上它的变化也很小,即可近似地视为不变。因此,在每个小区间上,可用其中某一点的高来近似代替该小区间上小曲边梯形的变化高,用相应的小矩形面积来近似小曲边梯形的面积。)

具体地

对第  个窄小曲边梯形,在其对应区间上任意地取一点,以作为近似高,以矩形面积近似

即     

于是,

很明显地

小区间的长度越小,近似程度就越好;要使得近似程度越好,只需都越来越小。因此,为了得到面积的精确值,我们只需将区间无限地细分,使得每个小区间的长度都趋向于零。

若记   ,则每个小区间的长度趋向于零价于 

从而                                 (1)

三、变速直线运动的路程

设某物体作直线运动,已知速度是时间间隔上的连续函数,且,求物体在时间间隔内所经过的路程。

在时间间隔内任意地插入个分点

将分划成个时间区间

各时间区间的长度依次为

记各时间区间内物体运动所经过的路程依次为

在时间间隔, 物体所经过的路程的近似值为

  

即:将物体在上的速度视为不变的,以来近似代替。很自然地,当这一时间间隔段很短时,这种近似是合理的。

于是可给出的近似值     

为得到的精确值, 只需让每个小时间间隔段的长度均趋向于零。

若记  

则                                      (2)

上述两例, 尽管其实际意义不同, 但有两点是一致的。

1、曲边梯形的面积值由高的变化区间来决定;

变速直线运动的路程由速度的变化区间来决定。

2、计算的方法、步骤相同,且均归结到一种结构完全相同的和式极限。

抛开这些问题的具体实际意义, 抓住它们在数量关系上共同的本质加以概括, 我们可给出定积分概念

四、定积分的定义

设函数上有界, 在中任意插入个分点

把区间分划成  个小区间

各区间的长度依次为

在每个小区间上任取一点 

作函数值与小区间长度的乘积  

作和式 

若不论对区间上怎样的分法,

也不论对小区间上的点怎样的取法,

只要当时, 和总趋向于确定的值

我们称这个极限值为函数在区间上的定积分。

记作   

即  

其中叫做被积函数叫做被积表达式

   叫做积分变量;    叫做积分区间

   叫做积分下限;        叫做积分上限

 叫做上的积分和式

如果上的定积分存在,我们就说上可积。

对定积分的定义, 我们给出两点重要的注解:

1、定积分的几何意义

上,时,表示由曲线,直线轴所围成的曲边梯形的面积。

上,时,表示该曲边梯形面积的负值。

因此,定积分是一个数值。

2、定积分与积分变量无关

由定积分的几何意义可知:

定积分与被积函数及积分区间有关。

如果既不改变被积函数,也不改变积分区间 ,而只是将变量改写成其它字母,如,这时定积分的值仍不变。即有

五、定积分的存在定理

【定理一】设在区间上连续, 则上可积。

【定理二】设在区间上有界, 且只有有限个间断点, 则上可积。

六、用定义求定积分的典型例子

【例1】  求 

解:是连续的,故 存在。

为便于计算, 将区间上分划成等分 , 即取分点为

这样,小区间的长度为 ,再取 

积分和式为

将表达式写成一个紧凑的形式:

从而

此例告诉我们这样的信息:

1、用定积分定义来计算定积分的确不方便,有必要寻找简捷而有效的计算方法;

2、,也反映了定积分几何意义的正确性。






§5.2  定积分的性质、中值定理

规定:

1、时,

2、时,

这两条规定的意义较直观。

时,曲边梯形退缩成一段线, 故其面积应该为零;

时,区间所对应的分点成为

相应的小区间的长度 

此时,相对于的符号应相反。

声明:在下面的讨论中, 对积分上下限的大小均不加以限制,并假定各性质中所列出的定积分均存在。

【性质一】函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)。

即:   

证明:

显然,性质一对于任意有限个函数也是成立的。

【性质二】被积函数的常数因子可以提到积分号外面。

即:       ( 是常数因子 )

证明:

性质三】如果将积分区间分成两部分, 则在整个区间上定积分等于这两个区间上定积分之和。

 即:   ( * )

这一性质的几何意义十分明显。如图,曲边梯形的面积有:

此性质表明,定积分对于积分区间具有可加性。其实,无论三个数的相对位置如何,等式( * )总是成立的。

例如:当时, 有

性质四】如果在区间上,,则

性质五】如果在区间上,,则 

据定积分几何意义,它是一个曲边梯形真正的面积值,故它应为非负的。

【推论一】如果在区间上,,则

事实上, 由 , 据 性质五 与 性质一 有

【推论二】

证明

由推论一有: 

即:   

性质六】设分别是函数在区间上的最大值及最小值,

则     

证明:

则  

这一性质可用来估计定积分值的范围,它也具有鲜明的几何意义。

性质七】( 定积分的中值定理 )

如果函数在闭区间上连续, 则在上至少存在一点

使得   

证明:据性质六有

数值 介于连续函数上的最小值与最大值之间, 再由闭区间上连续函数的介值定理, 在  上至少存在一点 ,使得

积分中值公式的几何解释

利用计算机编写程序gs0502.m对定积分

进行数值计算试验,我们可验证定积分中值定理的正确性。运行该程序时,注意建立被积函数的函数文件f.m






§5.3  微积分基本公式

一、积分上限的函数及其导数

设函数在区间上连续,并设上的一点,考察在部分区间上的积分

这一特殊形式的积分有两点应该注意:

其一、因连续,该定积分存在。此时,变量“ 身兼两职 ”,既是积分变量,又是积分的上限。

为了明确起见,将积分变量改用其它符号如来表示,这是因为定积分与积分变量的选取无关。上面的定积分改写成下述形式

其二、若上限上任意变动,则对应于每一个取定,该定积分有一个对应值。所以,它在上定义了一个新的函数, 记作

为以积分上限为变量的函数( 简称变上限函数 )。

是否确有这类函数?

观察一个例子,正态曲线上的变上限函数为

它表示一个曲边梯形的面积。运行程序gs0503.m,可分别作出上的图象

这表明,确实是一个新的函数。

【定理一】如果函数在区间上连续, 则变上限函数

上具有导数,且它的导数是

证明:当上限获得增量时, 处的函数值为

由此得函数的增量

据积分中值定理:

  之间

即: 

定理一表明:的一个原函数。因此,我们便有下面原函数的存在性定理。

【定理二】如果函数在区间上连续, 则函数

就是上的一个原函数。

定理二的重要意义在于:

其一、肯定了连续函数的原函数的存在性。

其二、揭示了定积分与原函数之间的联系。 使得定积分的计算有可能通过原函数来实现。

二、牛顿-莱布尼兹公式

【定理三】上连续, 上的任一原函数

则    

证明:均是上的原函数

则       (  为常数,   )

令  ,  

而 

故 

从而 

即 

若令, 得: 

为了方便,今后记 或 

最后,我们提醒一句,微积分基本公式时,一定要注意条件:

在区间上的原函数。

【例1】计算  与  

解:  

注:当初阿基米德用穷竭法计算定积分,可是费了不少功夫,可如今变得简单多了,这得益于微积分基本公式。

【例2】设内连续,且,证明函数

内为单调增加函数。

证明:

   

由假设, 在 上 , , 故

 ,      ,

从而, 在 上是单增的。

 

【例3】求极限  

解:这是一个型的不定式,可用罗必达法则来计算,分子可写成

它是以为上限的函数, 作为的函数, 它可视作以为中间变量的复合函数, 故

 

注明:试图用牛顿 -- 莱布尼兹公式计算定积分的思路是不可取的。这是因为不具有有限形式的原函数。

公元前的古希腊数学家阿基米德最先具有定积分的初步思想方法,而明确提出定积分概念却是由牛顿(英1642 - 1727)与莱布尼兹(德1646-1716)共同完成的。 而当时的定积分理论基础尚不严谨, 甚至连个严格的定义都没有。直到(1826 - 1866)德国数学家黎曼给出了今天的定积分严格定义。

这一事实表明:一个科学概念从萌芽、诞生到成熟需要经历很长时间。 因此,列宁称“ 自然科学的生命是概念 ”再恰当不过了。

定积分的符号 是由莱布尼兹首先引用的。其含义是:定积分的实质是求积分和式的极限,英文中求和一词是Sum,将S拉长变成了。显然,符号从外形到含义均表达了“求和”的涵义,堪称“形意兼备”。莱布尼兹在微积分中引用的符号系统:

彼此之间有联系,又各自表达不同的意义,可以说十分先进。现代计算机数学软件所采用的符号系统便是莱布尼兹所定义的,由这一点可看出先进的符号体系是重要的。

我国古代数学尽管历史悠久,但发展缓慢,其中一个重要的原因是符号落后。象著名的“勾股定理”也仅被表述成:勾三股四弦五,即:

在计算机编程中,合理有效地使用符号与变量的名称更是一个不容忽视的大问题。




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