使用Qt实现一个简化版的RSA加密算法

这一篇文章主要是实现一个有界面的、简化版的RSA加密，学习非对称加密的基本原理和算法。
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一、RSA算法的基本实现过程

与对称加密算法中不同，RSA算法的密钥是成对的两个数值，称之为公钥/私钥对。而且，公钥/私钥对也不是随机生成的两个数值，他们之间必须符合某种特定的关系。
目前网络使用的RSA算法的公钥/私钥长度可达1024bit，甚至2048bit。为简化计算起见，本次将减小密钥的长度，同时采用随机的方法产生密钥，以降低算法的复杂性。

1.公钥/私钥对的生成

生成公钥/密钥对的算法基本步骤如下：

（1）选择两个不同的素数（质数）p、q

此处，为了方便，将p、q限制为1000以内的素数。同时，为了达到p和q的随机性，先将1000以内的素数存放在一个数组中，然后生成两个随机数抽取其中的两个不同的素数。注意随机数要加上时间随机种子。

（2）计算它们的乘积n=p×q

（3）计算欧拉函数Ф(n)=(p-1)(q-1)

（4）选择与Ф(n)互素（互质），并且小于Ф(n)的整数e

此处的e也采用随机的方法产生。

（5）计算d，使得d×e mod Ф(n) = 1

令k=1,2,3,… 搜索直到使得(Ф(n)×k+1)能被e整除，计算d= $\frac{Ф(n)\times k+1}{e}$ 。
结果的密钥分别为公钥{e,n}和私钥{d,n}。

2.加密和解密的计算

以下的P代表明文（Plain）。C代表密文（Cipher）。

（1）加密公式

C=P^e mod n

（2）解密公式

P=C^d mod n

（3）加密解密的迭代计算

由于幂运算速度比较慢，在这里采用了下面的迭代公式等价替换了幂运算的操作。
C=P^e mod n=(…(((P*P mod n)*P mod n)*P mod n)…)*P mod n（其中需要有e个P相乘）
解密公式也是同理。

二、实验环境

软件：Qt Creator 3.3.0（Based on Qt 5.4.0）
系统：Windows 10

三、关键代码

代码中的phi表示的是Ф(n)。

1.生成密钥对

bool isPrime(int num);//判断是否为素数
int gcd(int a, int b);//求a、b的最大公约数

int prime_num[168];//1000以内的素数
int p,q,e,d,n,phi;
long long plain,cipher;//明文和密文


	//生成1000以内的素数的数组
    int a = 0;
    for(int i=1;i<=1000;i++)
    {
        if(isPrime(i))
        {
            prime_num[a] = i;
            a++;
        }
    }
    //随机产生p、q并计算n和phi
    srand(time(NULL));
    p = prime_num[(rand()%168)];
    q = prime_num[(rand()%168)];
    n = p*q;
    phi = (p-1)*(q-1);
    //计算e
    do{
        e = (rand()%(phi-2))+2;
    }while(gcd(e,phi) != 1);
    //计算d
    for(int k=1;;k++)
    {
        if((phi*k+1)%e == 0)
        {
            d = (phi*k+1)/e;
            break;
        }
    }

以下是辅助函数。

bool isPrime(int num)
{
    if(num == 1)
        return false;
    for(int i=2;i<int(sqrt(num)+1);i++)
    {
        if(num % i == 0)
            return false;
    }
    return true;
}

int gcd(int a, int b)
{
    if(b==0)
        return a;
    else
        return gcd(b,a%b);
}

2.加密解密

加密迭代计算

	cipher = plain;
    for(int i=1;i<e;i++)
        cipher = (cipher*plain)%n;

解密迭代计算

	plain = cipher;
    for(int i=1;i<d;i++)
        plain = (plain*cipher)%n;

四、编译结果

先在窗口中点击“生成密钥”，然后再输入明文（注意明文的数字要小于n），最后加密明文。

明文=1234，加密得密文为161619。

最后将上面获得的密文解密一下，来验证设计的算法的正确性。

密文=161619，解密得到明文为1234，与上面相符，所以是正确的。

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