[剑指offer]二叉搜索树的最近公共祖先

[剑指offer]二叉搜索树的最近公共祖先

剑指offer-二叉搜索树的最近公共祖先

题目描述

给定一个二叉搜索树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。
百度百科中最近公共祖先的定义为：“对于有根树 T 的两个结点 p、q，最近公共祖先表示为一个结点 x，满足 x 是 p、q 的祖先且 x 的深度尽可能大（一个节点也可以是它自己的祖先）。”

例如，给定如下二叉搜索树: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5]

示例 1:
输入: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5], p = 2, q = 8
输出: 6
解释: 节点 2 和节点 8 的最近公共祖先是 6。

示例 2:
输入: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5], p = 2, q = 4
输出: 2
解释: 节点 2 和节点 4 的最近公共祖先是 2, 因为根据定义最近公共祖先节点可以为节点本身。

解题思路

• 祖先的定义： 若节点 $p$ 在节点 $root$ 的左（右）子树中，或$p=root$，则称 $root$ 是 $p$ 的祖先。
  
• 最近公共祖先的定义： 设节点 $root$ 为节点 $p,q$ 的某公共祖先，若其左子节点 $root->left$ 和右子节点 $root->rigth$ 都不是 $p,q$ 的公共祖先，则称 $root$ 是最近的公共祖先。
• 根据以上定义，若 $root$ 是 $p,q$ 的最近公共祖先，则只可能为以下情况之一：
  • $p$ 和 $q$ 在 $root$ 的子树中，且分列 $root$ 的两侧，即分别在左右子树中；
  • $p=root$，且 $q$ 在 $root$ 的左或右子树中；
  • $q=root$，且 $p$ 在 $root$ 的左或右子树中；
    
• 本题给定了两个重要条件：
  • 树为二叉搜索树
  • 树的所有节点的值都是唯一的
• 根据以上条件，可方便的判断出 $p,q$ 与 $root$ 的子树关系，即：
  • 若 $p->val>root->val$，则 $p$ 在 $root$ 右子树中；
  • 若 $p->val<root->val$，则 $p$ 在 $root$ 左子树中；
  • 若 $p->val=root->val$，则 $p$ 和 $root$ 指向同一节点；
• 方法一：迭代
  • 循环搜索：当节点 $root$ 为空时跳出
    • 当 $p,q$ 都在 $root$ 的右子树中，则遍历至 $root->right$
    • 否则，当 $p,q$ 都在 $root$ 的左子树中，则遍历至 $root->left$
    • 否则，说明找到了最近公共祖先，跳出
  • 返回值：最近公共祖先 $root$
  • 时间复杂度：最好 $O(logN)$ ，最坏 $O(N)$，$N$ 为二叉树节点数，没循环一轮排除一层，二叉搜索树的层数最小为 $logN$（满二叉树），最大为 $N$（退化为链表）
  • 空间复杂度：$O(1)$，使用常数大小的额外空间
• 方法二：递归
  • 递推工作：
    • 当 $p,q$ 都在 $root$ 的右子树中，则开始递归 $root->right$ 并返回
    • 否则，当 $p,q$ 都在 $root$ 的左子树中，则开始递归 $root->left$ 并返回
  • 返回值：最近公共祖先 $root$
  • 时间复杂度：最好 $O(logN)$ ，最坏 $O(N)$，$N$ 为二叉树节点数，没循环一轮排除一层，二叉搜索树的层数最小为 $logN$（满二叉树），最大为 $N$（退化为链表）
  • 空间复杂度：$O(N)$，最坏情况下退化为链表，递归深度达到树的层次 $N$

实现代码

//迭代
class Solution {
public:
    TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
        while(root!=NULL){
            if(p->valval&&q->valval)
                root=root->left;
            else if(p->val>root->val&&q->val>root->val)
                root=root->right;
            else
                break;
        }
        return root;
    }
};

//递归
class Solution {
public:
    TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
        if(root==NULL)
            return NULL;
        if(p->valval&&q->valval)
            return lowestCommonAncestor(root->left,p,q);
        else if(p->val>root->val&&q->val>root->val)
            return lowestCommonAncestor(root->right,p,q);
        else
            return root;
    }
};