面试题目：时间复杂度

一，定义

时间复杂度：就是说执行算法需要消耗的时间长短，越快越好。在一个算法存在最好、平均、最坏三种情况，我们一般关注的是最坏情况，原因是最坏情况是任何输入实例在运行时间的上界。

二，表示方法

一般用"大O符号表示法"来表示时间复杂度：T(n)=O(f(n))，n是影响复杂度变化的因子，f(n)是复杂度具体的算法。

三，如何推导出时间复杂度呢

1，如果运行时间是常数量级，用常数1表示；

2，只保留时间函数中的最高阶项；

3，如果最高阶项存在，则省去最高阶项前面的系数

三，常见的时间复杂度量级

3.1，常数阶O(1)

int a = 1;
int b = 2;
int c = 3;

我们假定每执行一行代码所需要消耗的时间为1个时间单位，那么以上3行代码就消耗了3个时间单位，那是不是这段代码的时间复杂度为O(n)呢 ？其实不是的，因为大O符号表示法并不是用来表示算法的执行时间，它是用来表示代码执行时间的增长变化趋势。

3.2，线性阶O(n)

for(i = 1; i <= n; i++) {
   j = i;
   j++;
}

第1行会执行1次，第2行和第3行会分别执行n次，总的执行时间也就是 2n + 1 次，那它的时间复杂度表示是 O(2n + 1) 吗？ No !
还是那句话：“大O符号表示法并不是用于来真实代表算法的执行时间的，它是用来表示代码执行时间的增长变化趋势的”。
所以它的时间复杂度其实是O(n)；原则：只保留时间函数中的最高阶项；如果最高阶项存在，则省去最高阶项前面的系数。

3.3，对数阶O(logN)

int i = 1;
while(i < n) {
    i = i * 2;
}
//或：
for(int i = 1; i < n; i = i*2){
    printf("i = %d",i);
}

可以看到每次循环的时候 i 都会乘2，那么总共循环的次数就是log2n，因此这个代码的时间复杂度为O(logn)。
这儿有个问题，为什么明明应该是O(log2n）,却要写成O(logn)呢？
其实这里的底数对于研究程序运行效率不重要，写代码时要考虑的是数据规模n对程序运行效率的影响，常数部分则忽略，同样的，如果不同时间复杂度的倍数关系为常数，那也可以近似认为两者为同一量级的时间复杂度。

3.4，线性对数阶O(nlogN)

for(m = 1; m < n; m++) {
    i = 1;
    while(i < n) {
        i = i * 2;
    }
}

线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)。

3.5，平方阶O(n²)

for(x = 1; i <= n; x++){
   for(i = 1; i <= n; i++) {
       j = i;
       j++;
    }
}

把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²) 了。

3.6，立方阶O(n³)，K次方阶O(n^k)

参考上面的O(n²) 去理解就好了，O(n³)相当于三层n循环，其它的类似。

3.8，指数阶(2^n)

四，常见算法对应时间复杂度

二分法查找，二叉树遍历，最优排序矩阵搜索，归并排序

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