Sub Matrix Sum 含负数的最短区间+ 矩阵一维化

Sub Matrix Sum 含负数的最短区间+ 矩阵一维化

小记

1. 训练赛补题，该题是 2019 UCF Practice F题，也是2013 UCF的题目

2. 先看的是广外大给的题解，采用的是尺取法，但实际上含有负数的情况是不能用它的，于是我理解了它的代码之后却发现是wa的，不过也对尺取法有了更深的理解了。接下来看到是南京信息工程大学的题解，采用的是二分法。

3. 本题学到的（1）矩阵一维化 （2）尺取法 （3）二分法

4. 本篇文章的想法是从这道题目里，提取出一个问题模型，即对于无负数情况下时求最短区间和大于m 的问题可以用尺取法，复杂度是O（n）

   而对于有负数情况下，用本题题解的的二分法，复杂度是O(n*log n )

题意

有一个R*C大小的矩阵，元素为整数，可正可负，求最小子矩阵的大小，该子矩阵要满足矩阵和大于M。

R, C (1 ≤ R ≤ 100,000; 1 ≤ C ≤ 100,000; 1 ≤ R*C ≤ 100,000)

分析

1. 由R,C的数据范围可以知，矩阵只能开成1维的。

2. 先枚举每个高度的不同高度的子矩阵，把子矩阵的每一列变成一个元素，那么就变成了长度为C的一维数组。

   比如$\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 5& 6& 7& 8\\ 9& 10& 11& 12\\ 13& 14& 15& 16\end{array}$ 取h=2，r=1时，求是取 $\begin{array}{cccc}5& 6& 7& 8\\ 9& 10& 11& 12\end{array}$ 这个个子矩阵，以第1行为顶，高度为2，

   合成一维数组就是 14 16 18 20

3. 问题变成了长度为C的一维数组求大于M的最短区间长度

   那么对于有负数的该如何求呢？

   对每一列枚举，sum表示到此时的和。 minus_sum里存储的是 $-{\sum }_{k=1}^{k=i}a[k]$ ,它们排序的依据其实是 （当前列-它们代表的列）从大到小。

   int ptr=0;
   int col[MAXCOL];
   int minus_sum[MAXCOL]
   ll sum=0;
   
   for(int i=1;i<=C;++i)		//对每一列枚举
   {
   	sum+=a[i];
   	int delta=sum-a[i];
   	//假如要减去一个相同的值，扣去更少的列不如扣去更多的列。
   	while(ptr>0&&minus_sum [ptr]1)
   	{
   		mid=(lef+rig)/2;
   		if(minus_sum[mid]+sum >=M)lef=mid;  //符合条件
   		else rig=mid;
   	}
       if(minus_sum[rig]

   看到这里，这题的思路就应该大概明白了，可以直接看文末的题解代码了，而这里还想要写一下关于广外大给的尺取法不能用的原因

    //这是广外给的处理这里的一维数组的代码
    /*我觉得会wa的原因是虽然它考虑了第一个是小于等于0的情况，求直接left+1，但是有时当前right还没取到和它最好的left，就右移了，比如m=4时，数组为2 -5 6 4，会达到这个取了2 -5 6这个状态，那么这时还会向右移动，而6没有取到雨它最好的left，却没有机会了。*/
    for(k=1;k<=C;++k) array[k] = sumMatrixRef(j,k)-sumMatrixRef(i,k);
               LL sum = 0;
               int left = 1;
               int right = 1;
               while(right<=C){
                   if(left==right){sum = sum+array[right];++right;}           
                   else if(array[left]<=0){sum = sum-array[left];++left;}
                   else if(sum>=S){sum = sum-array[left];++left;}
                   else{sum = sum+array[right];++right;}
                   if(left=S){
                       if (res>((right-left)*(j-i)))
                           res=((right-left)*(j-i));
                   }
               }
               while(left<=C){
                   if(sum>=S){
                       if (res>((right-left)*(j-i)))
                           res=((right-left)*(j-i));
                   }
                   sum = sum-array[left];
                   ++left;
               }
   

原题和代码

原题

You have written many programs to search mazes so matrix search shouldn’t be any different, or will it?

The Problem:

An integer matrix with R rows and C columns has C(R,2)*C(C,2) sub matrices. We want to select a sub matrix with sum (the sum of all integers in it) greater than or equal to a given integer S. We want the size of the sub matrix to be the least possible. The size of a sub matrix is defined as the number of elements in that sub matrix (i.e., number of rows * number of columns in that sub matrix).

The Input:

The first input line contains a positive integer, t, indicating the number of test cases. The first line of each test case consists of three integers R, C (1 ≤ R ≤ 100,000; 1 ≤ C ≤ 100,000; 1 ≤ R*C ≤ 100,000) and S. Next R lines contain the description of the matrix. Each of these R lines contains C integers separated by a single space. All integers (other than R and C) are between -109 and +109, inclusive.

The Output:

For each test case, output the size of the minimum sub matrix whose sum is greater or equal to the given S. If there is no such sub matrix, output -1.

//参照2份题解的代码改的
#include "bits/stdc++.h"
using namespace  std;
typedef long long ll ;
const int MAXN=1E6+100;  //注意在本代码中开1e5+100是不够的，因为 matrix[0]~matrix[C]之间是个缓冲区
int matrix[MAXN],R,C,M;
ll colsum[MAXN],slices[MAXN];
inline int & InMatrix(int r,int c){ return matrix[r*C+c];}
inline ll& InColsum(int r,int c){return colsum[r*C+c] ;}
void inputMatrix()
{
    //因为时间复杂度为 R*R*(C+C*lg(C) ),因此要使得R=ans)break;
                for(int c=1;c<=C;++c)slices[c]=InColsum(r+h,c)-InColsum(r,c);
                ll sum=0;
                int ptr=0;
                for(int c=1;c<=C;++c)
                {
                    sum+=slices[c];
                    ll delta=slices[c]-sum;
                    while (ptr>0&& minus_sum[ptr]<=delta)--ptr; //要减去一个值，扣去更少的行不如扣去更多的行。

                    minus_sum[++ptr]=delta;
                    how_many_col[ptr]=c;

                    if(minus_sum[1]+sumlef)
                    {
                        mid=(lef+rig)/2;
                        if( minus_sum[mid]+sum>=M )lef=mid;
                        else rig=mid;
                    }
                    if(minus_sum[rig]+sumR*C)ans=-1;
        printf("%d\n",ans);
    }
}