einsum：爱因斯坦求和约定

在Tensorflow、Numpy和PyTorch中都提供了使用einsum的api，einsum是一种能够简洁表示点积、外积、转置、矩阵-向量乘法、矩阵-矩阵乘法等运算的领域特定语言。在Tensorflow等计算框架中使用einsum，操作矩阵运算时可以免于记忆和使用特定的函数，并且使得代码简洁，高效。
如对矩阵$A\in R^{I\times K}$和矩阵$B\in R^{K\times J}$做矩阵乘，然后对列求和，最终得到向量$c\in R^J$，即：

使用爱因斯坦求和约定表示为：

在Tensorflow、Numpy和PyTorch中对应的einsum字符串为：ik,kj->j。在上面的字符串中，隐式地省略了重复的下标k，表示在该维度矩阵乘；另外输出中未指明下标i，表示在该维度累加。

Numpy、PyTorch和Tensorflow中的einsum

einsum在Numpy中的实现为np.einsum，在PyTorch中的实现为torch.einsum，在Tensorflow中的实现为tf.einsum，均使用同样的函数签名einsum(equation,operands)，其中，equation传入爱因斯坦求和约定的字符串，而operands则是张量序列。在Numpy、Tensorflow中是变长参数列表，而在PyTorch中是列表。上述例子中，在Tensorflow中可写作：tf.einsum('ik,kj->j',mat1,mat2)。 其中，mat1、mat2为执行该运算的两个张量。注意：这里的(i,j,k)的命名是任意的，但在一个表达式中要一致。
PyTorch和Tensorflow像Numpy支持einsum的好处之一就是，einsum可以用于深度网络架构的任意计算图，并且可以反向传播。在Numpy和Tensorflow中的调用格式如下：
其中，□是占位符，表示张量维度；arg1,arg3是矩阵，arg2是三阶张量，运算结果是矩阵。注意：einsum处理可变数量的输入。上面例子中，einsum制定了三个参数的操作，但同样可以操作一个参数、两个参数和三个参数及以上的操作。

典型的einsum表达式

内积：又称点积、点乘，对应位置数字相乘，结果是一个标量，有见向量内积和矩阵内积等。
向量a和向量b的内积：

内积几何意义：
外积：又称叉乘、叉积、向量积，行向量矩阵乘列向量，结果是二阶张量。注意到：张量的外积作为张量积的同义词。外积是一种特殊的克罗内克积。
向量a和向量b 的外积：

外积的几何意义：

其中，

由于PyTorch可以实时输出运算结果，以PyTorch使用einsum表达式为例。

矩阵转置 Bji=Aij

a=torch.arange(6).reshape(2,3)
>>>tensor([[0, 1, 2],
           [3, 4, 5]])
torch.einsum('ij->ji',[a])
>>>tensor([[0, 3],
          [1, 4],
          [2, 5]])

求和 $b=\sum \sum A_{ij}$

a=torch.arange(6).reshape(2,3)
>>>tensor([[0, 1, 2],
           [3, 4, 5]])
torch.einsum('ij->',[a])
>>>tensor(15)

列求和(列维度不变，行维度消失) $b_j=\sum A_{ij}$

a=torch.arange(6).reshape(2,3)
>>>tensor([[0, 1, 2],
           [3, 4, 5]])
torch.einsum('ij->j',[a])
>>>tensor([ 3.,  5.,  7.])

列求和(列维度不变，行维度消失) $b_i=\sum A_{ij}$

a=torch.arange(6).reshape(2,3)
>>>tensor([[0, 1, 2],
           [3, 4, 5]])
torch.einsum('ij->i', [a])
>>>tensor([  3.,  12.])

矩阵-向量相乘

a=torch.arange(6).reshape(2,3)
>>>tensor([[0, 1, 2],
           [3, 4, 5]])
torch.einsum('ik,k->i',[a,b])
>>>tensor([  5.,  14.])

矩阵-矩阵乘法

a=torch.arange(6).reshape(2,3)
b=torch.arange(15).reshape(3,5)
>>>tensor([[0, 1, 2],
           [3, 4, 5]])
           
>>>tensor([[ 0,  1,  2,  3,  4],
           [ 5,  6,  7,  8,  9],
           [10, 11, 12, 13, 14]])
torch.einsum('ik,kj->ij',[a,b])
>>>tensor([[ 25,  28,  31,  34,  37],
           [ 70,  82,  94, 106, 118]])

点积
向量

a=torch.arange(3)
b=torch.arange(3,6)
>>>tensor([0, 1, 2])
>>>tensor([3, 4, 5])
torch.einsum('i,i->',[a,b])
>>>tensor(14.)

矩阵

a=torch.arange(6).reshape(2,3)
b=torch.arange(6,12).reshape(2,3)
>>>tensor([[0, 1, 2],
           [3, 4, 5]])

>>>tensor([[ 6,  7,  8],
           [ 9, 10, 11]])
torch.einsum('ij,ij->',[a,b])
>>>tensor(145.)

外积

a=torch.arange(3)
b=torch.arange(3,7)
>>>tensor([0, 1, 2])
>>>tensor([3, 4, 5, 6])
torch.einsum('i,j->ij',[a,b])
>>>tensor([[  0.,   0.,   0.,   0.],
           [  3.,   4.,   5.,   6.],
           [  6.,   8.,  10.,  12.]])

batch矩阵乘

a=torch.randn(3,2,5)
b=torch.randn(3,5,3)
>>>tensor([[[-1.4131e+00,  3.8372e-02,  1.2436e+00,  5.4757e-01,  2.9478e-01],
            [ 1.3314e+00,  4.4003e-01,  2.3410e-01, -5.3948e-01, -9.9714e-01]],

           [[-4.6552e-01,  5.4318e-01,  2.1284e+00,  9.5029e-01, -8.2193e-01],
            [ 7.0617e-01,  9.8252e-01, -1.4406e+00,  1.0071e+00,  5.9477e-01]],

          [[-1.0482e+00,  4.7110e-02,  1.0014e+00, -6.0593e-01, -3.2076e-01],
           [ 6.6210e-01,  3.7603e-01,  1.0198e+00,  4.6591e-01, -7.0637e-04]]])

>>>tensor([[[-2.1797e-01,  3.1329e-04,  4.3139e-01],
            [-1.0621e+00, -6.0904e-01, -4.6225e-01],
            [ 8.5050e-01, -5.8867e-01,  4.8824e-01],
            [ 2.8561e-01,  2.6806e-01,  2.0534e+00],
            [-5.5719e-01, -3.3391e-01,  8.4069e-03]],

           [[ 5.2877e-01,  1.4361e+00, -6.4232e-01],
            [ 1.0813e+00,  8.5241e-01, -1.1759e+00],
            [ 4.9389e-01, -1.7523e-01, -9.5224e-01],
            [-1.3484e+00, -5.4685e-01,  8.5539e-01],
            [ 3.7036e-01,  3.4368e-01, -4.9617e-01]],

           [[-2.1564e+00,  3.0861e-01,  3.4261e-01],
            [-2.3679e+00, -2.5035e-01,  1.8104e-02],
            [ 1.1075e+00,  7.2465e-01, -2.0981e-01],
            [-6.5387e-01, -1.3914e-01,  1.5205e+00],
            [-1.6561e+00, -3.5294e-01,  1.9589e+00]]])
torch.einsum('ijk,ikl->ijl',[a,b])
>>>tensor([[[ 1.3170, -0.7075,  1.1067],
            [-0.1569, -0.2170, -0.6309]],

           [[-0.1935, -1.3806, -1.1458],
            [-0.4135,  1.7577,  0.3293]],

           [[ 4.1854,  0.5879, -2.1180],
            [-1.4922,  0.7846,  0.7267]]])

张量缩约
batch矩阵相乘是张量缩约的一个特例，比如有两个张量，一个n阶张量$A\in R^{I_1\times l_2\times ...\times I_n}$，一个m阶张量$B\in R^{J_1\times J_2\times ...\times J_m}$。取n=4，m=5，假定维度$I_2=J_3$​且$I_3=J_5$，将这两个张量在这两个维度上(A张量的第2、3维度，B张量的第3、5维度)相乘，获得新张量$C\in R^{I_1\times I_4\times J_1\times J_2\times J_4}$​，如下所示：

a=torch.randn(2,3,5,7)
b=torch.randn(11,13,3,17,5)

torch.einsum('pqrs,tuqvr->pstuv', [a, b]).shape
>>>torch.Size([2, 7, 11, 13, 17])

多张量计算
如前所述，einsum可用于超过两个张量的计算，以双线性变换为例：

a=torch.randn(2,3)
b=torch.randn(5,3,7)
c=torch.randn(2,7)

torch.einsum('ik,jkl,il->ij',[a,b,c]).shape
>>>torch.Size([2,5])