PAT乙级——1007(数组操作)

题目:素数对猜想 (20 分)

让我们定义d​n​​为:d​n​​=p​n+1​​−p​n​​,其中p​i​​是第i个素数。显然有d​1​​=1,且对于n>1有d​n​​是偶数。“素数对猜想”认为“存在无穷多对相邻且差为2的素数”。

现给定任意正整数N(<10​5​​),请计算不超过N的满足猜想的素数对的个数。

输入格式:

输入在一行给出正整数N。

输出格式:

在一行中输出不超过N的满足猜想的素数对的个数。

输入样例:
20

输出样例:
4

素数分析

首先看一个关于质数分布的规律:
  1大于等于5的质数一定和6的倍数相邻。例如5和7,11和13,17和19等等;
  证明:
  令x≥1,将大于等于5的自然数表示如下:
  ····· 6x-1,6x,6x+1,6x+2,6x+3,6x+4,6x+5,6(x+1),6(x+1)+1 ······
  可以看到,不在6的倍数两侧,即6x两侧的数为6x+2,6x+3,6x+4,由于2(3x+1),3(2x+1),2(3x+2),所以它们一定不是素数,再除去6x本身,显然,素数要出现只可能出现在6x的相邻两侧。这里有个题外话,关于孪生素数,有兴趣的道友可以再另行了解一下,由于与我们主题无关,暂且跳过。  这里要注意的一点是,在6的倍数相邻两侧并不是一定就是质数。
  此时判断质数可以6个为单元快进,加快判断速度,原因是,假如要判定的数为n,则n必定是6x-1或6x+1的形式,对于循环中6i-1,6i,6i+1,6i+2,6i+3,6i+4,其中如果n能被6i,6i+2,6i+4整除,则n至少得是一个偶数,但是6x-1或6x+1的形式明显是一个奇数,故不成立;
  另外,如果n能被6i+3整除,则n至少能被3整除,但是6x能被3整除,故6x-1或6x+1(即n)不可能被3整除,故不成立。综上,循环中只需要考虑6i-1和6i+1的情况,即循环的步长可以定为6,每次判断循环变量k和k+2的情况即可。

代码实现

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String []args){
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        int n =in.nextInt();
        int temp[]=new int[10000];
        int k=0;
        int count=0;
        //在判断函数中没有对1进行判断,因为素数的计算标准是从2开始的。
        //故 i 从2开始进行判断
        for(int i=2;i<=n;i++){
            if(isPrime_3(i)==1){
                temp[k]=i;
                k++;
            }
        }
        for(int i=1;i<k;i++){
            if(temp[i]-temp[i-1]==2)
                count++;
        }
        System.out.print(count);
    }

    //判断是不是素数
      static int isPrime_3(int num)
    {
        //两个较小数另外处理
        if(num ==2|| num==3 )
            return 1 ;
        //不在6的倍数两侧的一定不是质数
        if(num %6!= 1&&num %6!= 5)
            return 0 ;
        double tmp =Math.sqrt(num);
        //在6的倍数两侧的也可能不是质数
        for(int i= 5;i <=tmp; i+=6 )
            if(num %i== 0||num %(i+ 2)==0 )
                return 0 ;
        //排除所有,剩余的是质数
        return 1 ;
    }
}

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