从本质出发理解掌握三大坐标系下的三大方程（一）——梯度公式

对于很多数学和工程问题，我们常常需要使用到梯度、散度和旋度公式，而有的时候，虽然在使用这些公式，却对他们其中的物理意义不甚清楚，这样的后果是只能对公式死记硬背，但结果还是常常忘记。这篇文章便从这三大公式的本质入手，推导它们在三大经典坐标系下的形式，授以“捕鱼”之道！

 

梯度公式

---

       开始之前，我们先来回忆一下梯度公式的数学意义，它描述了函数在某点函数值增加最快的方向，它的模就等于函数在该点方向导数的最大值。用直观的解释就是，假设你现在位于一座山上，则这一点的梯度是在该点坡度（或者说斜度）最陡的方向，梯度的大小告诉我们坡度到底有多陡。

那么为什么梯度的方向就是函数增加最大的方向呢？证明过程十分简单：
       如果$f(x,y,z)$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$可微，则函数在该点任意方向的$e_l$的方向导数为$\frac{\partial f}{\partial l}{|}_{(x_0,y_0,z_0)}=f_x(x_0,y_0,z_0)cos\alpha +f_y(x_0,y_0,z_0)cos\beta +f_z(x_0,y_0,z_0)cos\gamma$，其中$cos\alpha 、cos\beta 、cos\gamma$为$l$的方向余弦。
       我们把上式看成两个向量点积的形式，则变为$$\frac{\partial f}{\partial l}{|}_{(x_0,y_0,z_0)}=(f_x(x_0,y_0,z_0),f_y(x_0,y_0,z_0),f_z(x_0,y_0,z_0))\cdot (cos\alpha ,cos\beta ,cos\gamma ))$$
又因为$|(cos\alpha ,cos\beta ,cos\gamma )|=1$，所以，上面那个方向导数的最大值就是$|(f_x(x_0,y_0,z_0),f_y(x_0,y_0,z_0),f_z(x_0,y_0,z_0))|$。要取得该最大值，就是将$l$的方向取成向量$(f_x(x_0,y_0,z_0),f_y(x_0,y_0,z_0),f_z(x_0,y_0,z_0))$的方向，而$(f_x(x_0,y_0,z_0),f_y(x_0,y_0,z_0),f_z(x_0,y_0,z_0))$恰恰是该点处梯度的方向，至此，我们便证明了梯度的方向就是函数值增加最大的方向。

---

 

笛卡尔坐标系下的梯度公式

---

       在上面的推导过程中，我们已经得到了在笛卡尔坐标系下的梯度公式：$$▽f(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial x}i+\frac{\partial f}{\partial y}j+\frac{\partial f}{\partial z}k$$

---

 

柱面坐标系下的梯度公式

---

       柱面坐标系也是正交坐标系，可以看成是笛卡尔坐标系在空间重旋转了一个角度得到的，根据笛卡尔坐标系下梯度公式的推导，我们可以很自然地想到柱面坐标系下的梯度就是$f(x,y,z)$在$e_r、e_{\theta }、e_z$方向的偏导数组成的向量，也就是$(f_{e_r},f_{e_{\theta }},f_{e_z})$，接下来，我们只需推导这三个偏导数即可。
$$f_{e_r}=\underset{△r->0}{\lim }\frac{f+△f-f}{r+△r-r}=\frac{\partial f}{\partial r}$$
$$f_{e_{\theta }}=\underset{△\theta ->0}{\lim }\frac{f+△f-f}{r(\theta +△\theta )-r\theta }=\frac{\partial f}{r\partial \theta }$$
$$f_{e_z}=\underset{△z->0}{\lim }\frac{f+△f-f}{z+△z-z}=\frac{\partial f}{\partial z}$$
于是，我们便得到了柱面坐标下的梯度公式：$$▽f(r,\theta ,z)=\frac{\partial f}{\partial r}{e}_r+\frac{\partial f}{r\partial \theta }{r}_{\theta }+\frac{\partial f}{\partial z}{e}_z$$
说明：梯度终究是一个由位移的偏导数组成的量，但是对$\theta$的偏导数并不是一个对位移的偏导数，所以其最后转化成了弧长！

---

 

球面坐标系下的梯度公式

---

       如果你能搞懂柱面坐标下的梯度公式是怎么来的话，球面坐标系下的梯度公式也不在话下了。
$$f_{e_r}=\underset{△r->0}{\lim }\frac{f+△f-f}{r+△r-r}=\frac{\partial f}{\partial r}$$
$$f_{e_{\theta }}=\underset{△\theta ->0}{\lim }\frac{f+△f-f}{r(\theta +△\theta )-r\theta }=\frac{\partial f}{r\partial \theta }$$
$$f_{e_{\varphi }}=\underset{△\varphi ->0}{\lim }\frac{f+△f-f}{rsin\theta (\varphi +△\varphi )-rsin\theta \varphi }=\frac{\partial f}{rsin\theta \partial \varphi }$$
这样，我们也就得到了球面坐标系下的梯度公式：
$$▽f(r,\theta ,\varphi )=\frac{\partial f}{\partial r}{e}_r+\frac{\partial f}{r\partial \theta }{r}_{\theta }+\frac{\partial f}{rsin\theta \partial \varphi }{e}_{\varphi }$$

---