伸展树详解及实现(C语言)
1.什么是伸展树
简单的说，伸展树是一棵二叉查找树，对每个节点的访问，都要将该节点通过旋转操作，把它翻转到根处。然后进行操作。下图是访问关键字1的过程（自底向上翻转）。可以看到伸展的效果可以让树的深度变小了，这是伸展树的好处所在。另外，当执行其他操作，如插入和删除，也要先进行类似的伸展。
2.自顶向下伸展树
前面简单地说明自底向上的伸展方式，下面要详细介绍自顶向下的伸展方式。一般的自顶向下的访问树是可以通过迭代来实现，而自底向上访问树一般需要递归来实现。使用迭代可以使得程序更快，但是代码相对较难实现，不过此处伸展树的实现还是相对好理解的，好实现的。
有三种情况的旋转，我们称之为单旋转，一字型旋转和之字型旋转。在访问的任一时刻，我们都有一个当前节点X，它是其子树的根；在我们的图中它被表示成“中间”树。树L（左边树）存放在树T中小于X的节点，但不存储X的子树中的节点；类似的，树R（右边树）存储大于X的节点，但不存储X的子树的节点。初始时X我T的根，而L和R是空树。
如果旋转是一次单旋转，那么根在Y的树变成中间树的新根。X和子树B连接而成为R中最小项的左儿子；X的左儿子逻辑上成为NULL。结果，X成为R的新的最小项。特别要注意，为使单旋转情形适用，Y不一定必须是一片树叶。如果我们查找小于Y的一项，而Y没有左儿子，那么这种单旋转情形将是适用的。
单旋转
类似的一字型(X,Y,Z成一字)的旋转如下：
一字型旋转
下面是之字形（X,Y,Z成之字）旋转：
之字形旋转
其中之字形的旋转可以采用一种简化的方式，如下图。此时Z不再是中间树，Y取而代之。简化后的之字形旋转变成和单旋转一样了，可以让变成更加简单。
简化之字形旋转
一旦展开完成，最后一步就是把三棵树连接起来形成一棵树，如下图所示。
作为例子，下面演示访问19的伸展过程。
简化的之字形旋转
之字形旋转
单旋转
整理
3.实现
3.1 初始化、伸展、插入、删除
（1）初始化（Initialize）
使用标记NullNode表示一个NULL指针。
/* 初始化 */
PSplayTree Initialize(){
if (NullNode == NULL){
NullNode = malloc(sizeof(struct SplayTree));
if (NullNode == NULL)
exit(EXIT_FAILURE);
NullNode->left = NullNode->right = NullNode;
}
return NullNode;
}
（2）伸展（Splay）
伸展的方法，使用一个结构体变量Header来保存左树和右树。其中Header.Left和Header.Right分别指向右树R和左树L，这不是错误，而是遵从指针的指向。
/* 根据关键值Item展开 */
static PSplayTree Splay(PSplayTree X, ElemType Item){
/* 左边树与右边树 */
static struct SplayTree header;
/* 左边树最大值与右边树最小值 */
static PSplayTree LeftTreeMax,RightTreeMin;
header.left = header.right = NullNode;
LeftTreeMax = RightTreeMin = &header;
/* NullNode赋值为Item，当查找到Item值或者进行值树的底部时终止循环 */
NullNode->elem = Item;
while (Item != X->elem) {
if (Item < X->elem){
if (Item < X->left->elem)
X = SingleRotateLeft(X);
/* 到达底部 */
if (X->left == NullNode)
break;
/* 链接右边 */
RightTreeMin->left = X;
RightTreeMin = X;
X = X->left;
}else{
if (Item > X->right->elem)
X = SingleRotateRight(X);
if (X->right == NullNode)
break;
/* 链接左边 */
LeftTreeMax->right = X;
LeftTreeMax = X;
X = X->right;
}
}
/* 组装 */
LeftTreeMax->right = X->left;
RightTreeMin->left = X->right;
X->left = header.right;
X->right = header.left;
return X;
}
（3）插入
一个新的指针被分配，且如果T是空的，那么建立一棵单节点树。否则，我们围绕Item进行展开T。如果新根的数据等于Item，不用插入。如果T的新根大于Item的值，那么T的新根和它的右子树变成NewNode的右子树。而T的左子树则成为NewNode的左子树。如果T的新根包含小于Item的值，那么执行类似的逻辑。在这两种情况下，NewNode均成为新根。
/* 插入 */
PSplayTree Insert(PSplayTree T,ElemType Item){
PSplayTree NewNode;
NewNode = malloc(sizeof(struct SplayTree));
if (NewNode == NULL)
exit(EXIT_FAILURE);
NewNode->elem = Item;
if (T == NullNode) {
NewNode->left = NewNode->right = NullNode;
T = NewNode;
}else{
T = Splay(T, Item);
if (Item < T->elem){
NewNode->left = T->left;
NewNode->right = T;
T->left = NullNode;
T = NewNode;
}else if (Item > T->elem){
NewNode->right = T->right;
NewNode->left = T;
T->right = NullNode;
T = NewNode;
}else if(Item == T->elem){
/* 重复值不做插入 */
free(NewNode);
}
}
return T;
}
（4）删除
通过访问要被删除的节点实行删除。这种操作把节点推到根上。如果删除该节点得到左树L和右树R。我们找到左树L中最大的元素，那么这个元素成为左树L的根，此时左树L没有右子树，就把右树R作为L的右子树。
/* 删除 */
PSplayTree Remove(PSplayTree T,ElemType Item){
PSplayTree NewTree;
if (T != NullNode){
T = Splay(T, Item);
if (Item == T->elem){
/* 找到该项 */
if (T->left == NullNode){
/* 左子树是空，右子树成为新树 */
NewTree = T->right;
}else{
/* 左子树成为新树根 对新树展开，由于Item大于新树的任何节点。所以展开的过程会沿着有路径进行 */
/* 一直到最右边的树叶节点，所以展开之后得到的树，其右子树肯定是空树 */
NewTree = T->left;
NewTree = Splay(NewTree, Item);
NewTree->right = T->right;
}
free(T);
T = NewTree;
}
}
return T;
}
3.2 源代码
3.2.1 头文件
//
// SplayTree.h
// SplayTree
//
// Created by Wuyixin on 2017/6/30.
// Copyright © 2017年 Coding365. All rights reserved.
//
#ifndef SplayTree_h
#define SplayTree_h
#include
#include
typedef struct SplayTree *PSplayTree;
typedef int ElemType;
struct SplayTree {
ElemType elem;
PSplayTree left;
PSplayTree right;
};
static PSplayTree NullNode;
/* 初始化 */
PSplayTree Initialize();
/* 插入 */
PSplayTree Insert(PSplayTree T,ElemType Item);
/* 删除 */
PSplayTree Remove(PSplayTree T,ElemType Item);
/* 遍历 */
void Travel(PSplayTree T);
#endif /* SplayTree_h */
3.2.2 实现文件
//
// SplayTree.c
// SplayTree
//
// Created by Wuyixin on 2017/6/30.
// Copyright © 2017年 Coding365. All rights reserved.
//
#include "SplayTree.h"
/* 根据关键值Item展开 */
static PSplayTree Splay(PSplayTree T, ElemType Item);
/* 左旋转 */
static PSplayTree SingleRotateLeft(PSplayTree T);
/* 右旋转 */
static PSplayTree SingleRotateRight(PSplayTree T);
/* 根据关键值Item展开 */
static PSplayTree Splay(PSplayTree X, ElemType Item){
/* 左边树与右边树 */
static struct SplayTree header;
/* 左边树最大值与右边树最小值 */
static PSplayTree LeftTreeMax,RightTreeMin;
header.left = header.right = NullNode;
LeftTreeMax = RightTreeMin = &header;
/* NullNode赋值为Item，当查找到Item值或者进行值树的底部时终止循环 */
NullNode->elem = Item;
while (Item != X->elem) {
if (Item < X->elem){
if (Item < X->left->elem)
X = SingleRotateLeft(X);
/* 到达底部 */
if (X->left == NullNode)
break;
/* 链接右边 */
RightTreeMin->left = X;
RightTreeMin = X;
X = X->left;
}else{
if (Item > X->right->elem)
X = SingleRotateRight(X);
if (X->right == NullNode)
break;
/* 链接左边 */
LeftTreeMax->right = X;
LeftTreeMax = X;
X = X->right;
}
}
/* 组装 */
LeftTreeMax->right = X->left;
RightTreeMin->left = X->right;
X->left = header.right;
X->right = header.left;
return X;
}
/* 左旋转 */
static PSplayTree SingleRotateLeft(PSplayTree T){
PSplayTree T2 = T->left;
T->left = T2->right;
T2->right = T;
return T2;
}
/* 右旋转 */
static PSplayTree SingleRotateRight(PSplayTree T){
PSplayTree T2 = T->right;
T->right = T2->left;
T2->left = T;
return T2;
}
/* 初始化 */
PSplayTree Initialize(){
if (NullNode == NULL){
NullNode = malloc(sizeof(struct SplayTree));
if (NullNode == NULL)
exit(EXIT_FAILURE);
NullNode->left = NullNode->right = NullNode;
}
return NullNode;
}
/* 插入 */
PSplayTree Insert(PSplayTree T,ElemType Item){
PSplayTree NewNode;
NewNode = malloc(sizeof(struct SplayTree));
if (NewNode == NULL)
exit(EXIT_FAILURE);
NewNode->elem = Item;
if (T == NullNode) {
NewNode->left = NewNode->right = NullNode;
T = NewNode;
}else{
T = Splay(T, Item);
if (Item < T->elem){
NewNode->left = T->left;
NewNode->right = T;
T->left = NullNode;
T = NewNode;
}else if (Item > T->elem){
NewNode->right = T->right;
NewNode->left = T;
T->right = NullNode;
T = NewNode;
}else if(Item == T->elem){
/* 重复值不做插入 */
free(NewNode);
}
}
return T;
}
/* 删除 */
PSplayTree Remove(PSplayTree T,ElemType Item){
PSplayTree NewTree;
if (T != NullNode){
T = Splay(T, Item);
if (Item == T->elem){
/* 找到该项 */
if (T->left == NullNode){
/* 左子树是空，右子树成为新树 */
NewTree = T->right;
}else{
/* 左子树成为新树根 对新树展开，由于Item大于新树的任何节点。所以展开的过程会沿着有路径进行 */
/* 一直到最右边的树叶节点，所以展开之后得到的树，其右子树肯定是空树 */
NewTree = T->left;
NewTree = Splay(NewTree, Item);
NewTree->right = T->right;
}
free(T);
T = NewTree;
}
}
return T;
}
void Travel(PSplayTree T){
if (T != NullNode){
Travel(T->left);
printf("%d ",T->elem);
Travel(T->right);
}
}
3.2.3 调用
//
// main.c
// SplayTree
//
// Created by Wuyixin on 2017/6/30.
// Copyright © 2017年 Coding365. All rights reserved.
//
#include
#include "SplayTree.h"
int main(int argc, const char * argv[]) {
PSplayTree T = Initialize();
T = Insert(T, 1);
T = Insert(T, 2);
T = Insert(T, 3);
T = Insert(T, 4);
T = Insert(T, 5);
T = Insert(T, 6);
T = Remove(T, 1);
T = Remove(T, 2);
T = Remove(T, 1);
Travel(T);
return 0;
}