计算梯度的三种方法： 数值法，解析法，反向传播法

计算梯度的三种方法： 数值法，解析法，反向传播法

一个简单的函数：

Python:

f(x,y,z)=(x+y)z

# coding=gbk

"""
function : f(x,y,z) = (x+y)z
"""
# first method   解析法
def grad1(x,y,z):
    dx = z
    dy = z
    dz = (x+y)
    return (dx,dy,dz)
# second method  数值法
def grad2(x,y,z,epi): 
    # dx
    fx1 = (x+epi+y)*z
    fx2 = (x-epi+y)*z
    dx = (fx1-fx2)/(2*epi)
    # dy
    fy1 = (x+y+epi)*z
    fy2 = (x+y-epi)*z
    dy = (fy1-fy2)/(2*epi)
    # dz
    fz1 = (x+y)*(z+epi)
    fz2 = (x+y)*(z-epi)
    dz = (fz1-fz2)/(2*epi)
    return (dx,dy,dz)
# third method 反向传播法
def grad3(x,y,z): 
    # forward
    p = x+y;
    f = p*z;    
    # backward
    dp = z
    dz = p
    dx = 1 * dp
    dy = 1 * dp
    return (dx,dy,dz)

print (": %.2f %.2f %.2f"%(grad1(1,2,3)))       
print (": %.2f %.2f %.2f"%(grad2(1,2,3,1e-5)))
print (": %.2f %.2f %.2f"%(grad3(1,2,3)))

结果：

<df/dx,df/dy,df/dz>: 3.00 3.00 3.00
<df/dx,df/dy,df/dz>: 3.00 3.00 3.00
<df/dx,df/dy,df/dz>: 3.00 3.00 3.00

复杂一点的函数

以Sigmoid 为例：

f(w,x)=11+e−(w0x0+w1x1+w2)

上面的Sigmoid 函数是输入二维的情况。 x=[x0x1]T
, w=[w0,w1]T , w2=b

显然函数是一个复合函数，是简单函数： f(x)=1x,f(x)=ex,f(x)=ax,f(x)=c+x 复合而成。

因此，我们可以写成： 波兰表达式树的形式。

这里我们只关心关于 w 的梯度，我们将函数写为：

f(w)=11+e−(w0x0+w1x1+w2)

Matlab:

clc;
%% 下面向量书写的格式不采用统一规范形式。例如全部采用列向量的形式等。
w = [2,-3,-3];
x = [-1,-2];
% 一般形式的反向传播
[dw0,dw1,dw2] = grad1(w(1),w(2),w(3),x(1),x(2));
fprintf('%.8f,%.8f,%.8f \n',dw0,dw1,dw2);
% 数值法
[dw0,dw1,dw2] = grad2(w(1),w(2),w(3),x(1),x(2),1e-5);
fprintf('%.8f,%.8f,%.8f \n',dw0,dw1,dw2);
% 技巧形式的反向传播
dw = grad3(w,x);
fprintf('%.8f,%.8f,%.8f \n',dw(1),dw(2),dw(3));
% 解析法
dw = grad4(w,x);
fprintf('%.8f,%.8f,%.8f \n',dw(1),dw(2),dw(3));

% 一般形式的反向传播
function  [dw0,dw1,dw2] = grad1(w0,w1,w2,x0,x1)

% forward
p0 = -1*(w0*x0+w1*x1+w2);
p1 = exp(p0);
p2 = 1+p1;
p3 = 1/p2;
% backward
dp2 = (-1)*(p2^(-2));
dp1 = 1*dp2;
dp0 = dp1*exp(p0);

dw0 = dp0*(-x0);
dw1 = dp0*(-x1);
dw2 = dp0 *(-1);
end
% 数值法
function  [dw0,dw1,dw2] = grad2(w0,w1,w2,x0,x1,epi)
% dw0
f1w0 = 1.0/(1+exp(-1*((w0+epi)*x0+w1*x1+w2)));
f2w0 = 1.0/(1+exp(-1*((w0-epi)*x0+w1*x1+w2)));
dw0 = (f1w0 - f2w0)/(2*epi);
% dw1
f1w1 = 1.0/(1+exp(-1*(w0*x0+(w1+epi)*x1+w2)));
f2w1 = 1.0/(1+exp(-1*(w0*x0+(w1-epi)*x1+w2)));
dw1 = (f1w1 - f2w1)/(2*epi);
% dw2
f1w2 = 1.0/(1+exp(-1*(w0*x0+w1*x1+(w2+epi))));
f2w2 = 1.0/(1+exp(-1*(w0*x0+w1*x1+(w2-epi))));
dw2 = (f1w2 - f2w2)/(2*epi);
end
% 技巧形式的反向传播
% 利用sigmoid 函数的技巧：  sigma(x)' = (1-sigma(x))*sigma(x)
function  dw = grad3(w,x)
% forward
dot = w(1)*x(1) + w(2)*x(2) + w(3);
f = 1.0/(1+exp(-dot));
% backward
ddot = (1-f)*f;
dx = [w(1)*ddot,w(2)*ddot]; % 不输出
dw = [x(1)*ddot,x(2)*ddot,1.0*ddot];
end
% 解析法
%  f(w)' = 1/(1+e^())  * e^() * (-x0)
function  dw = grad4(w,x)
x = [x 1];
dw = (-1)*(1+exp(- w*x'))^(-2)*exp(- w*x').*(-x);
end

结果：

-0.19661193,-0.39322387,0.19661193 
-0.19661193,-0.39322387,0.19661193 
-0.19661193,-0.39322387,0.19661193 
-0.19661193,-0.39322387,0.19661193 

更复杂一些的函数

如下函数：

f(x,y)=x+σ(y)σ(x)+(x+y)2

其中

σ(x)=11+e−x

上述公式写出解析形式的表达式，似乎吃力。

略… 请参考[参考文献].

参考文献：

1. https://zhuanlan.zhihu.com/p/21407711?refer=intelligentunit [CS231n课程笔记翻译：反向传播笔记]
2. http://cs231n.github.io/optimization-2/ [CS231n backpropagation]