线性基（草稿）

线性基

所以说这种神玩意我怎么可能自己研究嘛，都是搬运的，出处详见参考资料

1数学基础

1.1 向量空间 vector space

定义 (F,V,+,⋅) 为向量空间，其中 F 为域， V 为集合， V 中元素称为向量， + 为向量加法， ⋅ 为标量乘法，且运算满足 8 条公理（见维基百科）。

1.2线性无关 linearly independent

对于向量空间中 V 上 n 个元素的向量组 (v1,v2,…,vn) , 若存在不全为 0 的数 ai∈F , 满足

a1v1+a2v2+⋯+anvn=0

则称这 n 个向量 线性相关，否则称为 线性无关 。

1.3线性组合 linear combination

对于向量空间中 V 上 n 个元素的向量组 (v1,v2,…,vn) , 其线性组合是如下形式的向量

a1v1+a2v2+⋯+anvn

其中 a1,a2,…,an∈F

一组向量 线性无关 等价于 没有向量可用有限个其他向量的 线性组合 所表示.

1.4 张成 span

对于向量空间中 V 上 n 个元素的向量组 (v1,v2,…,vn) ，其所有线性组合所构成的集合称为 (v1,v2,…,vn) 的张成，记为 span(v1,v2,…,vn) .

1.5 基 basis

若向量空间 V 中向量组 B 既是线性无关的又可以张成 V ，则称其为 V 的基。

B 中的元素称为基向量。如果基中元素个数有限，就称向量空间为有限维向量空间，将元素的个数称作向量空间的维数。

性质

设 B 是向量空间 V 的基。则 B 具有以下性质：

• V 是 B 的极小生成集，就是说只有 B 能张成 V ，而它的任何真子集都不张成全部的向量空间。
• B 是 V 中线性无关向量的极大集合，就是说 B 在 V 中是线性无关集合，而且 V 中没有其他线性无关集合包含它作为真子集。
• V 中所有的向量都可以按唯一的方式表达为 B 中向量的线性组合。

第三点尤其重要，感性的理解，基就是向量空间中的一个子集，它可以通过唯一的线性组合，来张成向量空间中所有的向量，这样就可以大大的缩小我们向量空间的大小。

1.6 线性相关性引理 Linear Dependent Lemma

如果 (v1,v2,…,vn) 在 V 中是线性相关的，并且 v1≠0 , 则有至少一个 j∈{2,…,m} 使得下列成立：

1. vj∈span(v1,v2,…,vj−1)
2. 如果从 (v1,v2,…,vn) 中去掉第 j 项，则剩余向量组的张成仍然等于 span(v1,v2,…,vn)

证明

设 (v1,v2,…,vn) 在 V 中是线性相关的，并且 v1≠0 , 则有不全为 0 的 a1,a2,…,an∈F ，使得

a1v1+a2v2+⋯+amvm=0

a2,a3,…,an 不会全为 0 (因为 v1≠0 )。设 j 是 {2,…,m} 中使得 aj≠0 的最大者，那么

vj=−a1ajv1−a2ajv2−⋯−aj−1ajvj−1

这就有 1 成立.

为了证明 2，设 u∈span(v1,…,vn) , 则存在 c1,c2,…,cn∈F , 使得

u=c1v1+c2v2+⋯+cnvn

在上面的等式中，可以用之前的等式右边来代替 vj . 这样 u 包含于从 (v0,v1,…,vn) 去掉第 j 项的张成，因而 2 成立。

2 性质

设集合 S 中最大的数在二进制意义下有 L 位，我们使用一个 [0…L] 的数组 a 来储存线性基。

这种线性基的构造方法保证了一个特殊性质，对于每一个 i ， ai 有以下两种可能：

• ai=0
  
  • 则只有满足 j>i 的 aj 的第 i 个二进制位可能为 1 ;
• ai≠0
  
  • 整个 a 数组中只有 ai 的第 i 个二进制位为 1 ;
  • ai 更高的二进制位一定为 0 ;
  • ai 更低的二进制位可能为 1 ;

3 流程

线性基是由空一个个加入的，记线性基为 a , 新加入的为 t 。

逆序枚举 t 的所有二进制位，对于每一个 i ：

• 如果 ai≠0 ，则令 t=t⊕ai 。
  

  为保证 a 中只有 ai 的第 i 位为 1 ，只有消去 t 的第 j 位上的 1 ，才可以继续插入。

• 如果 ai=0 ，则

  • 枚举 j∈[0,i) ，如果 t 的第 j 位为 1 ，则令 t=t⊕ak 。

    为保证 a 中只有 ai 的第 i 位为 1 ，只有消去 t 的第 j 位上的 1 ，才可以继续插入。

  • 枚举 j∈(i,L] ，如果 aj 的第 i 位为 1 ，则令 aj=aj⊕t 。

    为保证 ak,k∈(j,L] 中第 j 位为 0 .

  • 令 ai=t ，至此，过程结束。

实现模板

最大异或和

#include
#include
typedef long long ll;
const int MAXN=55;

int n;

ll LB[MAXN];
ll LBSeq[MAXN];int scnt;

void insert(ll x)
{
    int i,j;
    for(i=MAXN-1;i>=0;i--)
    {
        if((x&(1LL<0) continue;
        if(LB[i]) x^=LB[i];
        else 
        {
            for(j=0;j<=i;j++)
                if(x&(1LL<x^=LB[j];
            for(j=i+1;jif(LB[j]&(1LL<x;
            LB[i]^x;
            return;
        }
    }
}

int main()
{
    int i;
    scanf("%d",&n);
    ll x;
    for(i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&x),insert(x);
    ll ans=0;
    for(i=0;iif(LB[i]) LBSeq[++scnt]=B[i];
    for(i=1;i<=scnt;i++) ans^=LBSeq[i];
    printf("lld\n",ans);
    return 0;
}

K 小异或和

#include
#include
typedef long long ll;
const int MAXN=55;

int n,m;

ll LB[MAXN];
ll LBSeq[MAXN];int scnt;

void insert(ll x)
{
    int i,j;
    for(i=MAXN-1;i>=0;i--)
    {
        if((x&(1LL<0) continue;
        if(LB[i]) x^=LB[i];
        else 
        {
            for(j=0;j<=i;j++)
                if(x&(1LL<x^=LB[j];
            for(j=i+1;jif(LB[j]&(1LL<x;
            LB[i]^x;
            return;
        }
    }
}

ll query(ll x)
{
    ll res=0;
    for(i=1;i<=scnt;i++)
        if(x&(1LL<q[i];
    return res;
}

int main()
{
    int i;
    scanf("%d",&n);
    ll x;
    for(i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&x),insert(x);
    ll ans=0;
    for(i=0;iif(LB[i]) LBSeq[++scnt]=B[i];
    scanf("%d",&m);
    while(m--)
    {
        scanf("%\\d",&x);
        if(scnt!=n) --x;
        if(x>=(1LL<printf("-1\n");
        else printf("lld\n",query(x));
    }
    return 0;
}