LeetCode 1131.绝对值表达式的最大值（曼哈顿距离 简单易懂）

题目描述 难度中等

题解 时间复杂度O(n)

看一眼时间复杂度，用暴力肯定超时，仔细想想可以把这个题抽象为求三维曼哈顿距离的最大值

$$dist=|x_i-x_j|+|y_i-y_j|+|z_i-z_j|$$
分析：

• dist这个表达式去绝对值后，$x_i，y_i，z_i$只可能有八种情况$$1：x_i+y_i+z_i，2：x_i+y_i-z_i,...，8：-x_i-y_i-z_i$$
• 可以发现每一种情况对应的$x_j,y_j,z_j$, 一定也能被确定下来（对应符号相反），比如：$x_i+y_i-z_i$这种情况，一定是$dist=(x_i+y_i-z_i)+(-x_j-y_j+z_j)$
• 所以我们只需要先用$O(n)$的复杂度求出点$i$的八种情况分别对应的最大值$maxv[k],k=0,..8$，然后再用$O(n)$的复杂度枚举每一种去绝对值的组合，取八种组合中的最大值即为最终结果
• 进一步可以求d维的曼哈顿距离，情况有$2^d$种，时间复杂度为$O(2^{d}n)$
  C++代码：

class Solution {
public:
    // 八种情况，用1表示正号，-1表示负号
    int d[8][3] = {{1, 1, 1}, {1, 1, -1}, {1, -1, 1}, {-1, 1, 1}, {1, -1, -1}, {-1, -1, 1}, {-1, 1, -1}, {-1, -1, -1}};
    int maxv[8];

    int maxAbsValExpr(vector<int> &arr1, vector<int> &arr2) {
        int n = arr1.size();
        memset(maxv, 0x80, sizeof maxv);

        // 求出点i的8种组合的最大值
        for (int k = 0; k < 8; k ++)
            for (int i = 0; i < n; i ++)
                maxv[k] = max(maxv[k], i * d[k][0] + arr1[i] * d[k][1] + arr2[i] * d[k][2]);

        int res = 0;
        for (int k = 0; k < 8; k ++)
            for (int j = 0; j < n; j ++)
                res = max(res, maxv[k] - j * d[k][0] - arr1[j] * d[k][1] - arr2[j] * d[k][2]);

        return res;
    }
};