《数字图像处理》——ch4频率域滤波（1.二维傅里叶变换）

版权声明：以下图片截取自《数字图像处理》冈萨雷斯 一书中。

1.二维连续傅里叶变换

对于离散变量x和y，二维离散冲激定义为：
二维离散冲激的取样特性为：
坐标点（x0，y0）的取样特性为：

二维连续傅里叶变换对：

其中，f(t，z）是两个连续变量t和z的连续函数；u和v是频率变量。
二维取样函数建模（二维冲激串）：

▲T和▲Z是连续函数 f(t，z）沿t轴和z轴的样本间的间隔；
取样限制：如果一个二维带限连续函数在u和v两个方向上由以大于该函数最高频率两倍的取样率取样获得的样本表示，则没有信息丢失。
取样间隔表达：

取样率表达：

2.图像中的混淆

时间混淆：与图像序列中图像间的时间间隔有关；
空间混淆：欠采样造成；主要表现形式是人为引入的缺陷（线状特征中的锯齿、伪高光及原图像中不存在的模式的出现）。

3.二维离散傅里叶变换

DFT：

其中，f(x，y）是大小为M*N的数字图像；
对离散变量u、v在u=0，1，2，…，M-1和v=0，1，2，…，N-1范围内求值。
IDFT：

4.二维离散傅里叶变换的性质

1.空间和频率间隔的关键
对连续函数f(t，z）取样生成了一幅数字图像f(x，y），她由分别在t和z方向所取的M*N个样点组成。若▲T和▲Z表示样本间的间隔，则相应离散频率域变量间的间隔如下：（频率域样本间的间隔与空间样本间的间隔和样本数成反比）

2.平移和旋转
平移特性：

旋转特性：

3.周期性
周期的无限延申：

一维情况下的变换：

二维情况下的变换：

4.对称性

由于：偶函数 × 偶函数 = 偶函数；偶函数 × 奇函数 = 奇函数；
离散函数为奇函数的唯一方法是其所有样本的和为零。
故：

下表列出了DFT的对称性和相关的性质：

5.傅里叶谱和相角
基础知识：

实函数的傅里叶变换：

因为比例常数MN通常很大，典型地，|F(0,0)|是谱的最大分量，
6.二维卷积定理

若要使“直接”卷积公式与DFT方法产生的卷积结果相同，后者必须对函数补足周期再计算它们的变换：
令f(x，y）和h(x，y）分别是大小为AB和CD像素的图像阵列，在循环卷积中的缠绕错误可以使用通过对这两个函数进行零填充来避免，方法如下：

7.小结
DFT定义（表4.2）：

DFT对（表4.3）