【BNUOJ】【第十四届北京师范大学程序设计竞赛决赛】D. Air Hockey

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Description 

无聊的过河船同学和无聊的胀鱼同学非常喜欢打桌上冰球（其实只是喜欢听球碰撞时的声音）。在无聊的一天，无聊的过河船同学想到了一个无聊的玩法：两人同时将两个球放桌面上，同时击出，然后听两颗球撞在一起时的声音。然而他们都对击球的精确度把握得不是很好，所以这两颗球并不一定能相撞。

现在假设桌面无限大，并且绝对光滑，给出两球的初始位置、半径和运动速度，保证两球初始没有接触。无聊的过河船同学想知道两球能否相撞（接触即认为相撞），如果能，他想知道两球相撞的时间（从两人击球时开始计时），如果不能，他想知道全过程中两球距离的最小值，这里两球距离的定义为两球上任取两个点的距离的最小值，数据保证这种情况下答案不小于 10 −6   。请注意，冰球是个圆柱体，从空中往下看就是一个圆，且在这个问题中，冰球的高度可以忽略不计。

Input 

第一行是一个正整数 T(≤10000)  ，表示测试数据的组数，

每组测试数据包含两行，

第 i  行包含五个绝对值不大于 1000  的整数 x[i],y[i],r[i],vx[i],vy[i]  ，表示第 i  个球的初始位置、半径和运动速度。

Output 

对于每组测试数据，若两球能相撞，输出两球相撞的时间，否则输出全过程中两球距离的最小值，相对误差不超过 10 −6   即可，

也就是说，令输出结果为 a  ，标准答案为 b  ，若满足 |a−b|max(1,b) ≤10 −6   ，则输出结果会被认为是正确答案。

SampleInput 

2
0 0 2 1 0
11 0 1 -1 0
0 0 2 1 0
11 5 1 -1 0

SampleOutput 

4.0000000000
2.0000000000

Hint 

对于第一组样例，两球在击球后4.0秒时发生碰撞，

对于第二组样例，两球不发生碰撞，且在击球后5.5秒时两球距离最近，此时距离为2.0。

Solution 
嗯哼……一眼看出了两个球之间的距离是单峰的……
枚举时间 t  时，可以直接算出两个球的位置（用初速度和初位置），然后两点间距离公式就可以表示距离。
既然距离是单峰的，那就三分……
三分可以得到它们之间距离最小的时间。但是，它们可能已经相撞了。所以在这种情况下，我们还需要去计算相撞时间。
注意到一个性质，我们刚刚取到了一个单峰函数的最值……把这个单峰函数从这切开就是单调的了……
既然距离是单调的，那就二分……直接二分相撞时间点。

唯一坑：注意精度……

#include 
#include 
#include 
#define y2 ijh
#define y1 dfg
using namespace std;
int t,x1,y1,r1,x2,y2,r2,vx1,vx2,vy1,vy2,ro;
double l,r,mid,lm,rm;

double cal(double tim)
{
    double x=x1+vx1*tim-x2-vx2*tim;
    double y=y1+vy1*tim-y2-vy2*tim;
    return (x*x+y*y);
}

int main()
{
    scanf("%d",&t);
    for (int i=1;i<=t;i++)
    {
        scanf("%d%d%d%d%d",&x1,&y1,&r1,&vx1,&vy1);
        scanf("%d%d%d%d%d",&x2,&y2,&r2,&vx2,&vy2);
        ro=(r1+r2)*(r1+r2);
        l=(double)0;
        r=(double)20000;
        while (l+0.00000000013;
            rm=l+lm*2;
            lm=l+lm;
            if (cal(lm)else l=lm;
        }
        if (cal(l)<=ro)
        {
            r=l;
            l=(double)0;
            while (l+0.00000000012;
                if (cal(mid)>ro) l=mid; else r=mid;
            }
            printf("%.12lf\n",l);
        }
        else printf("%.12lf\n",sqrt(cal(l))-sqrt(ro));
    }
    return 0;
}