状态转移思想解读：辗转相除（欧几里德）算法及扩展

原创文章，转载请注明: 转载自 SunliyMonkey技术博客
本文链接地址: 状态转移思想解读：辗转相除（欧几里德）算法及扩展
URL: http://blog.csdn.net/sunliymonkey/article/details/48102067

1 算法实现

1.1 欧几里德算法(辗转相除法)

欧几里德算法，也被称为辗转相除法，其被用于求解两个数之间的最大公约数，常用 gcd(A，B) 进行表示。

它的算法实现十分容易，如下：

int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0)
      return a;
    else 
      return gcd(b,a%b);
}

1.2 扩展欧几里德算法

扩展欧几里德算法是用来求解这样一个式子：

　　　　　　　　 A∗x+B∗y=gcd(A，B)
　　　　　　　　求解： x=? , y=?
这里的x，y不是唯一解，当得知一组可行解之后，其它的可行解都可以表示出来：
　　　　　　　
　　　　　　　　 xk=x+(k∗Bgcd(A,B))
　　　　　　　　 yk=y−(k∗Agcd(A,B))
　　　　　　　　 k 为任意整数　　　　　　　　　　　　　

在这里不阐述，x，y的值有何用处，如果你是acmer，应该发现有不少题，需要利用这个性质。

扩展欧几里德算法的实现也很简单，在原有欧几里德算法的基础上，少许额外的代码，即能实现：

    int exGcd(int a,int b,int &x,int &y)  
    {  
        if(b==0)  
        {  
            x = 1;  
            y = 0;  
            return a;
            // 此时a = gcd(A,B)  
            // a * 1 + b * 0 = gcd(A,B)
            // 由于b=0，y可以任意取值
        }  

        int d = exGcd(b, a%b, y, x); // 注意这里x，y的位置对调  
        y -= a/b * x;  
        return d; // 返回最大公约数  
    }  

---

2 状态转移思想

看了上面的实现，相信你的第一感觉是十分简洁，确实也如此，对于一个不懂这两种算法的人，如果提醒你从“动态规划”,“状态转移”等角度思考这两个问题，相信会有不少人能够AC它们。

先来看看两个明显的结论：

• 如果A=B，gcd(A,B)=A或B

• 如果A=0，gcd(A,B)=B，同理，如果B=0，gcd(A，B)=A

看到这里，相信你会有一种直觉：是否能够将求解 gcd(A,B) , 转换成更小的两个数 A1,B1 ，使得 gcd(A,B)=gcd(A1,B1) 呢？而这种状态转移思想经常被用到：

• 分治： 大问题分解成小问题，小问题更容易被解决，最终，合并小问题的结果，解决大问题

• 动态规划： 一个状态能够从多个状态转移而来，其最优值将从这多个状态的最优值中选取

---

3 状态转移方程

3.1 欧几里德

结论：　 gcd(A,B)=gcd(A−B,B)

证明：

　设 A=k1∗gcd(A,B),B=k2∗gcd(A,B)(A≥B)

　显然 gcd(k1,k2)=1

　 A−B=(k1−k2)∗gcd(A,B)

　可以使用反证法证明： gcd(k1−k2，k2)=1
　因此 gcd(A,B)=gcd(A−B,B)

　当你发现存在这样的状态转移，欧几里得算法，其实已经解决了。然后再分析下，不难发现更快速的状态转移方程：

　　　　　 gcd(A,B)=gcd(A%B,B)

　而这就是上面代码实现中，使用的状态转移方程。

---

3.2 扩展欧几里德

有了上面状态转移的基础，我们可以将问题进行如下转换：
状态转移： (A0,B0,x0,y0)←(A1,B1,x1,y1)

　　　　　 A0∗x0+B0∗y0=gcd(A,B)
　　　　　 A1∗x1+B1∗y1=gcd(A,B)

其中：
　 A1=B0
　 B1=A0%B0=A0−(A0/B0)∗B0
　 x1, y1 的值已经知道，现在需要反推出 x0, y0 的值

只需代入上面的关系，即可推导出状态转移的公式：

　 A1∗x1+B1∗y1

　 =B0∗x1+[A0−(A0/B0)∗B0]∗y1

　 =A0∗y1+B0∗[x1−(A0/B0)∗y1]

　 =A0∗x0+B0∗y0

推导结果：

　 x0=y1
　 y0=x1−(A0/B0)∗y1

扩展欧几里德算法，就这样被你解决了！