换个角度彻底理解红黑树
0 、前言
红黑树是软件工程中非常重要的数据结构，在很多的工程领域都有它的身影，比如java的treemap、linkedhashmap，linux内核、linux的高并发多路复用利器epoll的核心数据结构就是红黑树；然而这个数据结构却不是那么容易理解，特别是网络上缺少对红黑树本质的分析，一般都是自底向上的来讲述，非常tricky，往往看了一段就不知所云，最后放弃了。但是，红黑树真的没这么复杂，本文重新自顶向下的方式来解构红黑树（从BST到2-3树最后推导出红黑树），争取写一篇让大家能持续看下去，最后达到能够手写（手画）一棵红黑树出来的目的。
本文没有代码，全是图解，请放心阅读:-)
1、什么是红黑树
红黑树是查找表（符号表）数据结构群中的一员，这群数据结构主要的功能是维护一组key-value键值对，并通过增删查改等操作对其进行操作。比如：hash表、二分查找表、BST、2-3树，跳表、红黑树都是这些数据结构的一员。
2、红黑树有啥用？
在众多查找表中，可以说红黑树是最稳定（增删查改都是O(logn)的复杂度），动态增删性能最好（Ologn），编码最容易的一种实现（奇怪吧，hashtable不是都是O(1)么？）。
hash表不是查找，插入都是O(1)么，怎么红黑树会是综合性能最好的？这就要说到工程特性了。一个技术从科学研究到工程实践可行是有一个鸿沟的，而hash表就是这个悖论的典型例子。虽然容易理解，但是hashtable并不容易实现，而且它的效率并不稳定，原因有以下两个：
1、恼人的最差性能，其实hashtable最差的效率是O(n)，就是在冲突不断增加的时候，性能会急剧下降；这时需要做非常tricky的补救措施；
2、这个补救措施就是rehashing，简单来讲就是将这个数组重新搬到大一倍的空间中，然后重新算hash映射，除此之外没别的办法。这个过程耗时耗力，耗尽了hashtable的好印象。在这个过程中还会出线程同步问题，而且编码难度极大？比如，如果在多线程环境下，对线程不安全版本的hashtable做频繁的新增操作会死锁（亲测这个死锁几乎7 80%会出现），具体的原因，主要是rehashing的时候开链发对链表新增节点时的同步问题；
3、而且在java中，hashmap其实在链表的数量大于8时，会将链表转成红黑树来加快查询。
红黑树的稳定性与动态维护超大数据量kv表的能力使它成为互联网应用的重要数据结构，对于一个10亿规模的数据量，最多也只要查30多次就能找到你想要的key-value pair。而且对于很多linux内核的代码中也是大量使用红黑树来保持插入与查询的稳定性。
3、解构红黑树
既然，红黑树这么重要，对于有追求的码农应该有必要了解它的原理。
但是遗憾的是，网络上对红黑树的解读大都比较难懂，大部分的解释都是来自一本神书《算法导论》，这也是万恶之源：
1、这本书并不是面向程序员的，别被导论这两个字迷惑，这个导论可能是对于计算机科学家来说的吧~
2、这个书中所描述的红黑树定义是结论型的，也就是假设你对BST树、2-3树都很熟悉的情况下得出的结论，比如《导论》中对红黑树的定义是：
1.节点是红色或黑色。
2.根节点是黑色。
3.每个叶子节点都是黑色的空节点（NIL节点）。
4 每个红色节点的两个子节点都是黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)
5.从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点。
很多人，包括我也疑惑很多年，这是啥？好好的数据结构，咋还要染色？为啥是红黑，黑白可以吗？为啥会制定这么复杂的规则？这么复杂的规则是怎么得出来的？
后来看了《算法》这本面向程序员的算法书后才霍然开朗，这里我试着将这本书对红黑树的阐述总结一下。
3.1 还是得先讲讲BST
BST（Binary Search Tree）是二叉查找树的简称，其实很简单。大概的意思如下图：
BST树
1、树左边的都比根小；
2、右边都比根大；
3、将规则递归到所有节点，就得到一颗BST。
细心的你会发现BST有个”bug“，在插入的时候，如果是按照升序插入，那么就是一个链表了那么这时的查询也从O(logn)退化到了O(n).
退化后的BST
所以可以推断，一颗好的查找树一定是平衡的，而且最好是完美平衡的（任何节点的左右子树深度都相等），因为这样它的查询操作就会稳定到O(logn)——也就是树的高度了。毕竟，在工程领域最重要的准则就是——稳定压倒一切！
3.2、2-3 tree
那么主角2-3 tree就登场了，为啥2-3树是主角？剧透一下，因为红黑树本质就是2-3tree，而且”红“就是2-3树中的3节点，”黑“就是2节点。下面详细讲解。
2-3 tree的定义其实很简单:
1、2-3tree是BST的一种，继承所有BST的特点；
2、整棵树由2-node与3-node组成；
3、2-node就是包含一个key节点，两个左右子树链接（对应BST中的普通节点），3-node就是包含2个key，同时包含3个子树链接的节点，就是3叉树节点；
4、2-3树是完美平衡的。
有图更好理解：
2-3 tree
可以看出来，2-node就是二叉树普通节点，3-node就是三叉树的普通节点。那么2-3 tree是由2-node与3-node组成的完美平衡的搜索树，通俗的讲就是，这棵树中根节点的左右子树中2-3 node高度始终都一样高。
怎么保持树的完美平衡呢？
我们通过例子看看插入的规则，我们以顺序插入1-10来作为例子，先不讲规则，我们看看例子，然后总结出规则，我们以依次向2-3 tree中插入1-10个数字的例子来演示。
1、插入1，只有一个节点，简单：
插入1
2、插入2
插入2，由于树不平衡，所以进行融合
3、插入3
插入3
这里说明下，2-3树在插入过程中会临时形成4-node（也就是有3个key，4个子树的node），而这时，4-node要马上分解成3个2-node。
4、插入4
插入4
5、插入5
插入5-1
插入5-2
插入5-3
插入5的时候比较复杂，临时的4-node会分解成3个2-nodes，这时会导致树不平衡，右边子树高度+1，那么需要将3个2-node的中间节点向上融合（调平的重要步骤）。
6、插入6
插入6
7、插入7
插入7-1
插入7-2
插入7-3
插入7-4
可以看出插入7的结果会不断将临时4-node分裂成3个2-node，并向上传递，最后会使树的高度增加1，但是整个树是完美平衡的。
8、插入8
插入8
9、插入9
插入9-1
插入9-2
插入9-3
10、插入10
插入10
好了，画完了，树中2-3节点完美平衡。找到规律了么？没有的话，我总结下：
1、在2-node中插入新节点，形成3-node，不破坏树的平衡，done；
2、在3-node中插入新节点分为3步：
2.1、形成新的临时4-node；
2.2、将4-node分解成3个2-node；
2.3、如果树不平衡，就将中间节点向上融合，重新递归1、2、两个步骤，直到树平衡。
看懂了么？是不是很简单，如果没有，就再看看上面的图解吧~
3.3 重新发明红黑树
您可能会问，2-3 tree已经很完美了，不管怎么插入数据，只要根据"两个"简单的规则就能维持一个树的完美平衡，为啥还要发明红黑树呢？
原因很简单，工程实现难度！又是工程的实现难度！说白了就是容易出bug……
跟hashmap一样，实现一个工程可用的2-3tree是比较困难的（观点来自于《算法》没有亲测）：
1、树中间包含3种节点，相比BST来说意味着更多的判断，比如，从4-node，分裂成3个2-node，从2-node合并成3-node等等；情况多，编码复杂；
2、各种node的节点在互相转变的过程中需要拷贝的信息也比较多，比如3-node可以有3个子树，2-node有2个，那么融合的时候情况较多，不能直接向BST一样统一处理，算法实现要处理的情况太多，容易出bug；
3、代码不能重用（BST的代码不能重用）。
但是我觉得最重要的是2-3 tree原理完美，但是结构不完美。一个完美的数据结构一定是原理与结构都是统一的、朴素简单的。2-3 tree更像一个通向最终答案的中间解，只要把中间的3-node与4-node这些tricky的node想办法变换成2-node就结构也统一完美了；那么BST的很多代码就可以稍微修改一下就可以重用了（特别是删除节点的代码~）。
怎么统一呢？
方法其实也很简单、直接，我们只要将2-3 tree在结构上对齐BST，在保持平衡的原理上维持现状不就行了？也就是西瓜芝麻都一起抓——去掉2-3 tree中的3-node。
3.3.1 去掉3-node
怎么去掉3-node？很简单，真的很简单，还是看图说话：
3-node到2个2-node
就是把3-node拉直就行了！
更一般化的形式为
《算法》节选
但是，左子树的高度加了1，那么结构的算法特性有没有发生改变呢？
其实没有，因为你依然可以把”4-7“这个红色标记的链接看做是一个3-node，那么它的搜索特性就没有变化。本质来讲，当我们在2-3 tree里面做搜索的时候，当我们碰到3-node的时候，其实就相当于在节点内部要比2-node多做一次比较，拉直了相当于把这个多出来的比较形式化成了一条链接，计算量是没有变化的。
所以红黑树跟2-3 tree是完全等价的！或者说通过把2-3 tree中的3-node拉直而形成的BST树就是——红黑树！
书中的例子，更加清楚：
截图自《算法》
3.3.2 定义的解析
3.3.2.1 一些前提与说明
之前我们只是把边涂成红色，但是BST是没有边的定义的，所以这个颜色只能记录在节点的数据结构中，所以我们把从父节点到子节点的红边会存储在子节点中——将子节点涂成红色，构成红色节点，其他的自然都是黑色节点。
对于网上比较常见的一个红黑树例子：
网上常用的例子
细心的读者会发现，这个根本不是一个2-3 tree，但是确实是红黑树，这是怎么回事？
因为红黑树定义有不同，相同节点的红黑树会根据定义不同产生不同的红黑节点数量，如果直接从2-3tree转的红黑树可能跟以上5条定义获得的红黑树稍有不同，但是他们都是红黑树。
再来看看经典红黑树的定义《导论》中的定义（针对的是节点颜色）：
1.节点是红色或黑色。（貌似是废话，难道对于红黑树还有第三种颜色？）
2.根节点是黑色。（没啥用）
3.每个叶子节点都是黑色的空节点（NIL节点）。
4 每个红色节点的两个子节点都是黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)
5.从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点。
再看看《算法》中的定义（针对的是线的颜色）：
1、红色的线永远是左侧链接；（强行的规定）
2、没有一个节点同时链了两条红色的线；（也就是没有3-node）
3、任何从根到叶子节点的路径上有相同颜色的黑线。
可以看出定义是完全不同的（一个针对节点颜色，一个针对线的颜色——而线的颜色存在node中，所以还是红黑树），但是都能构成一棵红黑树。
而我们的解析是采用《算法》中的，因为它跟2-3 tree一一对应，很好理解。而《导论》中的定义是经过2-3 tree，2-3-4 tree的抽象总结出来的非常通用抽象的解析，其经过很多思维迭代后的结果，所以很抽象，但是本质来说他们是一回事，是可以通过有限次推导（reduction）互相转换的。
那么下面我们对网上的例子做些转换，将它化简成一个2-3 tree的原型：
有两个红色子节点的都可以做传递转换
转换得到的依然是红黑树。
然后可以将红色节点跟父节点融合成一个3-node
3.3.3 一步步构建红黑树
还是通过依次插入1-10，用《算法》中讲述的红黑线试图来解析。
1、插入1
很简单……
2、插入2
rule1：插入的新节点跟父节点用red线连接
插入2
3、插入3
rule2：一个节点不能有两个红线相连（不是父子），否则就要通过旋转将中间节点移动成父节点。
rule3：如果一个节点父子都是红线相连，则需要翻转颜色，并把父节点与祖父节点的链接变成红色（也就是2-3 tree中分解4-node的时候，3个2-node中间的那个向上传递的过程）。
插入3-1
插入3-2
所以，可见红黑树中的翻转其本质就是将4-node分解成3个2-node，并将中间节点与父节点融合的过程。
4、插入4
插入4
插入4，很简单，红线相连即可，因为每条路径黑线数目一样。
5、插入5
插入5-1
插入5-2
6、插入6
插入6
此时可以跟2-3 tree插入到6的图比较下，其实可以找到规律:->
2-3 tree插入6
是不是红色线跟3-node一一对应？
7、插入7
插入7-1
插入7-2
插入7-3
插入7-4
可以发现2-3 tree插入7也是4步，跟红黑树的旋转变色的过程一一对应。
8、插入8
插入8
9、插入9
插入9-1
插入9-2
10、插入10
插入10
完毕，这就是一个以边为视角的插入过程，只需要将边的颜色信息存储到节点中就可以得到一棵红黑树：
插入10后的红黑树
总结下2-3tree与红黑树的操作对应：
1、2-3 tree中的4-node分裂成3个2-node，并让中间节点上移；等价于红黑树中的左右旋转；
2、2-3tree中间节点上移与父节点融合过程；等价于红黑树中的反色操作。
是不是很好理解了？
3.4 后续的操作
红黑树的插入操作我们解构完了，我们还剩下一个比较复杂的删除操作。这个操作其实是使用BST的标准删除操作，一个比较标准的算法是，将要删除节点的右子树中的最小值（或者左子树中最大值）替换掉当前删除的节点，当然针对不同的情况需要做些判断。而且在工程领域，也会引入随机的删除左右子树中的最大最小交替的方式，来完成删除，以至于不会使得树的稀疏度差异太大，从而降低搜索效率那是另一个范畴的事情了。
4、总结
红黑树是一个非常重要的，而且在工程中常用的数据结构。比如jvm的hashmap，linux中还为红黑树单独建立了数据结构对象（linux内核源码的lib/rbtree.c文件）因为在linux内核中的进程调度，虚拟内存管理等操作频繁而且性能critical的地方都会使用红黑树；另外在linux的epoll多路复用的模型中，核心数据结构就是红黑树。那么为什么红黑树这么好，一句话：
1、动态插入、删除、查找都是O(logn)，而且只要内存足够，性能稳定在这个数量级上；
2、工程上好实现，编码简单。