系统辨识（三）：动态系统的数学模型

一、数学模型的分类

1、静态与动态

• 系统的输出变量仅决定于当前的输入变量，称为静态的，也称为无记忆系统。其特征是系统中不包含储能元件，表示形式是代数方程。

• 系统的输出变量取决于当前及以前或以后的输入（或输出），称为动态的，也称为有记忆系统。其特征是系统中包含储能元件，表示形式为微分方程、差分方程等。

t0松驰：储能元件无任何能量，输出仅仅唯一地由t0时刻后的输入所决定。总是可以假定系统在-∞时刻松驰，这时称为初始松驰。
因果系统：系统的输出只取决于当前或以前的输入(不取决于以后的输入)。任何实际的物理系统均具有因果性。

2、连续时间和离散时间

• 若时间连续取值且函数值也连续取值，则称为是连续时间系统。一般用微分方程表示。
• 若时间仅在有限个和无限可列个点上取值，则称为离散时间系统。一般用差分方程表示。

3、时间域和频率域

• 输入、输出及状态变量依赖于时间变化，称之为时间域模型，如微分方程、差分方程等。
• 为了便于运算或进行频率分析，可通过变换(傅氏，拉氏)转换成频率域模型，如传递函数等。

4、参数模型和非参数模型

• 由各种解析表达式描述的模型，称为参数模型。如微分方程、差分方程、传递函数等。由结构和有限个参数构成。
  
• 用图形或表格形式表示的模型，称为非参数模型。如阶跃响应曲线、脉冲响应曲线、频率响应曲线等。在工程上比较直观。

5、线性和非线性

• 若一个松弛系统具有齐次性和叠加性，则称此系统满足叠加原理，并称之为线性系统。反之，称为非线性系统。
  
  ⑴ 关于参数空间线性
  如果输出关于参数空间是线性的，则称之为关于参数空间线性。
  

⑵ 本质线性
针对非线性模型而言，如果模型经过适当的数学变换可转换为线性模型，那么原模型为本质线性。

6、确定型和随机型

• 确定型
  在一定的输入下，输出具有确定的数值。其特点是可预测，可重复。
• 随机型
  因存在很多随机因素，输入确定，输出响应也不确定。其特点是不可预测，不可重复。引入随机过程来描述。

7、时不变和时变

系统输入输出特性不因独立时间变量的平移而改变，意味着参数或系数是不随时间而变的常数，称为时不变系统；否则称为时变系统。

若系数与时间无关则为时不变系统。

8、集中参数和分布参数

• 若系统的变量是一个独立参数（大多数情况下为时间t）的函数，系统称为集中参数系统。表现为常微分方程。
• 若系统的变量是多个独立参数（t，空间坐标x,y,z）的函数，系统为分布参数系统。表现为偏微分方程
  

9、单变量和多变量

• 一个输入且一个输出（SISO），称为单变量系统。
• 多个输入或多个输出（MIMO），称为多变量系统。

10、微观模型和宏观模型

• 微观模型是研究系统内部的微小单元的运动规律，一般用微分方程、差分方程描述。
• 宏观模型是研究系统的宏观现象（内部单元的总体效应），一般用联立方程或积分方程描述。常应用于社会、经济领域。

二、确定型数学模型

1、连续时间系统

2、离散时间系统

三、线性模型的规范型及模型转换

1、多变量线性模型的等价变换

2、多变量线性模型的规范型

四、随机型数学模型

系统辨识不仅要建立“对象模型”，而且也要建立“噪声模型”。这样的模型叫做随机型数学模型。

1、随机型动态系统的状态模型

2、时间序列模型

自回归滑动平均模型（Autoregressive Moving Average Models，简称ARMA ）

3、随机型动态系统的输入输出模型

五、辨识模型的表示和误差准则

1、最小二乘格式

2、误差准则的类型

等价准则是辨识问题中不可缺少的三大要素之一。它是用来衡量模型接近实际过程的标准，而且它通常被表示为一个误差的泛函。因此等价准则也叫作误差准则、损失函数或准则函数，记作：

（1）输出误差：

（2）输入误差：

（3）广义误差：