【每日一道算法题】小白鼠吃药问题

有 1000 个一模一样的瓶子，其中有 999 瓶是普通的水，有一瓶是毒药。任何喝下毒药的生物都会在一星期之后死亡。现在，你只有 10 只小白鼠和一星期的时间，如何检验出哪个瓶子里有毒药？

参考答案：

【1】根据2^10=1024，所以10个老鼠可以确定1000个瓶子具体哪个瓶子有毒。具体实现跟3个老鼠确定8个瓶子原理一样。
000=0
001=1
010=2
011=3
100=4
101=5
110=6
111=7
一位表示一个老鼠，0-7表示8个瓶子。也就是分别将1、3、5、7号瓶子的药混起来给老鼠1吃，2、3、6、7号瓶子的药混起来给老鼠2吃，4、5、6、7号瓶子的药混起来给老鼠3吃，哪个老鼠死了，相应的位标为1。如老鼠1死了、老鼠2没死、老鼠3死了，那么就是101=5号瓶子有毒。同样道理10个老鼠可以确定1000个瓶子

【2】2的10次方=1024，现在先将老鼠排成一列，做一个数列，1表示老鼠是活的，0表示老鼠是死地，做完实验之后这十只老鼠的状态可以有1024种，现在从结果来推断实验方法。因为做实验，我们不算没有老鼠死亡的那一种情况，然后
第一种1000000000情况表示1号老鼠死亡，其他存活，这是第一瓶有毒的结果，因此第一瓶液体只给编号为1的老鼠喝，
第二种0100000000情况表示1,2号老鼠死亡，其他存活，这是第二瓶有毒的结果，因此第二瓶液体只给编号为2的老鼠喝，
同理类推，用排列组合的方法继续。
这是用可能结果确定怎么做实验，现在根据上面的做实验，就可以推出结果了。

扩展：
如果你有两个星期的时间（换句话说你可以做两轮实验），为了从1000个瓶子中找出毒药，你最少需要几只老鼠？注意，在第一轮实验中死掉的老鼠，就无法继续参与第二次实验了。

参考答案：7只。

事实上，7只老鼠足以从 3^7 = 2187 个瓶子中找出毒药来。首先，把所有瓶子从0到999编号，然后全部转换为7位三进制数。现在，让第一只老鼠喝掉所有三进制数右起第一位是 2 的瓶子，让第二只老鼠喝掉所有三进制数右起第二位是2的瓶子，等等。一星期之后，如果第一只老鼠死了，就知道毒药瓶子的三进制编号中，右起第一位是2；如果第二只老鼠没死，就知道毒药瓶子的三进制编号中，右起第二位不是2，只可能是0或者1……也就是说，每只死掉的老鼠都用自己的生命确定出了，三进制编号中自己负责的那一位是2；但每只活着的老鼠都只能确定，它所负责的那一位不是2。于是，问题就归约到了只剩一个星期时的情况。在第二轮实验里，让每只活着的老鼠继续自己未完成的任务，喝掉它负责的那一位是 1 的所有瓶子。再过一星期，毒药瓶子的三进制编号便能全部揭晓了。

总结：n只小白鼠和t周的时间可以从(t+1)^n个瓶子中检验出毒药（一瓶）来。（是否是“至多”(t+1)^n瓶希望你们能想个法子证明或证伪：P）

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