【小波变换】离散小波分解Discrete Wavelet Transform

此篇博客记录自学离散小波分解的相关内容，以后若有更多理解在此篇更新。

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一、 为什么需要离散小波分解

   除离散变换外，还有连续小波分解，通过改变分析窗口大小，在时域上移动窗口和基信号相乘，最后在全时域上整合。通过离散化连续小波分解可以得到伪离散小波分解（注意有些matlab工具包的DWT实际上是它而不是下文要说的离散小波分解）。这种离散化带有大量冗余信息且计算成本较高。

二、离散小波分解Discrete Wavelet Transform

   在讲小波变换前，可以先懂一点傅里叶变换的东西，关于将信号从时域转换到频域及其局限性。小波变换很大程度上弥补了傅立叶分解在非平稳时间序列上的不足，通过将傅立叶分解的正余弦波替换为一组可衰减的正交基，能较好地表达出序列中的突变和非平稳部分。

1. 基础

  离散小波变换的核心：用不同频率的滤波器分析不同频率的信号，主要是高通滤波器和低通滤波器。
  信号的分辨率：衡量信号承载的信息丰富程度，采样率越高则分辨率越高，反之亦是。
  DWT用小波函数（wavelet fuction）和尺度函数（scale function）来分别分析高频信号和低频信号，也即高通滤波器和低通滤波器。
  注：在DWT中频率的单位是弧度。

DWT分解过程：

1. 将信号$x[n]$通过具有脉冲响应$h[n]$的半带低通滤波器，这一过程类似数学里的卷积，$x[n]\times h[n]={\sum }_{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot x[n-k]$。这一操作会剔除信号中频率低于$p/2$的部分（信号最高频率为$p$），信号分辨率下降一半。
2. 根据奈奎斯特定理进行下采样，间隔一个剔除样本点，信号留下一半样本点，尺度翻倍。（滤波操作不影响信号的尺度）将这一半进行高通滤波：
   $$y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h[k]\cdot x[2n-k]$$
   这是第一个level的分解，如果要进一步分解，就把高通滤波器的结果再次一分为二，进行高通滤波和低通滤波，各自的公式为：
   $$\begin{array}{rl}& y_{high}[k]=\sum _{n}x[n]\cdot g[2k-n]\\ & y_{low}[k]=\sum _{n}x[n]\cdot h[2k-n]\end{array}$$
   
   容易发现，分解的level数为不超过信号长度的2的n次幂。
   和傅里叶变换的区别：保留了频率的时间位置信息。

2. 特性

高通滤波器和低通滤波器，也即小波函数和尺度函数的脉冲响应（$g[n]$和$h[n]$）并不相互独立，而具有一定的联系：
$$g[L-1-n]=(-1{)}^n\cdot h[n]$$
L是过滤长度，可以发现两个脉冲是彼此奇数索引交替反向版本。
成正交基的半带滤波器，使得重构信号非常容易。
对每一层level，重构公式为：
$$x[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }(y_{high}[k]\cdot g[2k-n])+(y_{low}[k]\cdot h[2k-n])$$
另一方面，如果两个滤波器不能成正交基，则不能较好的重构。幸好有不少学者提出较好的正交基可以使用。

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关于小波函数和尺度函数：阅读材料
文章主要参考资料：The Wavelet Tutorial