二项分布、泊松分布以及指数分布之间的关系

二项分布

二项分布即是n重伯努利分布，而伯努利分布定义即是：随机变量X的取值为离散的1,0值，分别对应p的概率取值1和以1-p的概率取值0.

而二项分布对应的随机变量X即是n次伯努利事件后成功（取值为1）的次数.则此时X的分布为：$P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$

泊松分布

泊松分布是描述某段时间内某事件发生的次数，并且泊松分布认为事件的发生是随机且独立的（当然肯定有不满服泊松分布的事件）。该分布的数学形式为：$P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}$
其中k是一段时间内事件发生的次数，$\lambda$是一段时间内事件发生次数的数学期望值，e为自然常数。

那么泊松分布与二项分布究竟有什么关系呢？
假设$\lambda$为一段时间内某事件发生次数的期望值，并且按照泊松分布的定义该事件的发生是随机且独立的，即可以理解为“均匀的”。那么我们把该段时间等分为n份，则每一份子时间段内该事件发生的发生概率可以定义为$\frac{\lambda}{n}$。自然的，由二项分布可以得出在该段时间内某事件发生k次的概率为：
$P(X=k)=C_n^k(\frac{\lambda}{n})^k(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k}$

当n值极大，趋近于无穷$\infty$时有：
$\lim_{n\to\infty}C_n^k(\frac{\lambda}{n})^k(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k}$
=$\frac{n(n-1)(n-2)....(n-k+1)}{k!}(\frac{\lambda}{n})^k(1-\frac{\lambda}{n})^{n-k}$
=$\frac{n(n-1)(n-2)....(n-k+1)}{k!}\frac{\lambda^k}{n^k}\frac{(1-\frac{\lambda}{n})^n}{(1-\frac{\lambda}{n})^k}$
=$\frac{n(n-1)(n-2)....(n-k+1)}{n^k}\frac{\lambda^k}{k!}\frac{(1-\frac{\lambda}{n})^n}{(1-\frac{\lambda}{n})^k}$
=$\frac{n}{n}\frac{n-1}{n}....\frac{n-k+1}{n}\frac{\lambda^k}{k!}\frac{(1-\frac{\lambda}{n})^n}{(1-\frac{\lambda}{n})^k}$
对于该式，可以看出当n趋于$\infty$时，$\frac{n}{n}和\frac{n-1}{n}直到\frac{n-k+1}{n}$的极限值都为1。对于$\frac{(1-\frac{\lambda}{n})^n}{(1-\frac{\lambda}{n})^k}$，它的分母$(1-\frac{\lambda}{n})^k$可知当n趋于$\infty$时，它的值也为1；对于分子$(1-\frac{\lambda}{n})^n$，由求自然常数e的极限公式可得它的值为$e^{-\lambda}$。那么自然就可以得出:$\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}$，即泊松分布可以看成是n值极大时的二项分布。

指数分布

指数分布与前两个分布相比，是连续型的分布。指数分布的随机变量为事件发生的时间间隔，这些事件仍然是独立随机的（本文所述的三个分布均符合该假设）。

指数分布的分布函数为：$F(t)=P(X

$$ \begin{cases} 1-e^{-\lambda t} ,t>=0 \\ 0 , t<0 \\ \end{cases} $$

对应的，指数分布的概率密度函数：$f(x)=$

$$ \begin{cases} \lambda e^{-\lambda t} ,t>=0 \\ 0 , t<0 \\ \end{cases} $$

那么指数分布和泊松分布有什么关系呢？

这里先回顾一下泊松分布，它是对于某一段固定时间的，我们可以通过泊松分布的公式求出该段时间内事件发生次数为x的概率，那么如果我们想求出t时间内事件发生的次数（t不一定等于该段时间长度）该怎么办呢？

其实根据对泊松分布公式的由二项分布衍化而来的推导可以看出，它的假设即是：1.某一段固定时间事件发生次数的期望值$\lambda$。2.事件的发生是随机独立的。那么对于t时间，只要知道该段时间内的事件发生次数的期望值即可！之前我们的假设中对于$\lambda$的值是对应于某一段时间的，我们这里把它重新定义为单位时间内事件发生次数的期望值，则t时间内事件发生次数的期望为$\lambda t$。则t时间内事件发生k次对应的概率为：$P(X=k)=\frac{(\lambda t)^ke^{-\lambda t}}{k!}$

再回到我们一开始的问题，我们已经知道t时间内事件发生k次的概率，则t时间内事件不发生的概率即为：$P(X=0)=\frac{(\lambda t)^0e^{-\lambda t}}{0!}=e^{-\lambda t}$，那么t时间内事件发生的概率就是$1-e^{-\lambda t}$了，正好对应了指数分布的概率分布函数。

参考资料

泊松分布 (Poisson Distributions) 的推导
泊松分布的概率公式（10分钟了解泊松分布）