[EE261学习笔记] 14.矩阵形式的离散傅里叶变换，及离散傅里叶变换的相关公式

本文主要罗列一下DFT的相关公式

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首先，不难将DFT写成矩阵形式，回忆之前的推导，DFT表达式为:

$$\underline{\mathcal{F}f}=\sum _{n=0}^{N-1}\underline{f[n]}{\underline{\omega }}^{-n}$$

写成矩阵形式就是：

$$\left[\begin{array}{c}\underline{\mathcal{F}f[0]}\\ \underline{\mathcal{F}f[1]}\\ ⋮\\ \underline{\mathcal{F}f[N-1]}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ 1& {\underline{\omega }}^{-1\cdot 1}& \cdots & {\underline{\omega }}^{-1\cdot (N-1)}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& {\underline{\omega }}^{-(N-1)\cdot 1}& \cdots & {\underline{\omega }}^{-(N-1{)}^2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\underline{f[0]}\\ \underline{f[1]}\\ ⋮\\ \underline{f[N-1]}\end{array}\right]$$

我们发现，DFT其实是一个对称矩阵，即

$${\underline{\mathcal{F}}}^T=\underline{\mathcal{F}}\text{\hspace{1em}(1)}$$

根据上一章中的运算，还可以知道：

$${\underline{\mathcal{F}}}^{-1}\underline{\mathcal{F}}=\underline{\mathcal{F}}{\underline{\mathcal{F}}}^{-1}=NI\text{\hspace{1em}(2)}$$

结合$(1)$，$(2)$两式，有：

$${\underline{\mathcal{F}}}^{\ast }\underline{\mathcal{F}}=\underline{\mathcal{F}}{\underline{\mathcal{F}}}^{\ast }=NI$$

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DFT的对偶性：

1. $${\underline{f}}^{-}[n]=\underline{f}[-n]$$

2. $$\underline{\mathcal{F}}\left({\underline{f}}^{-}\right)={\left(\underline{\mathcal{F}f}\right)}^{-}$$

3. $$\underline{\mathcal{F}\mathcal{F}f}=N{f}^{-}$$

$(3)$ 也是与连续傅里叶变换情况不同的地方

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类似连续情况，离散情况下的两个常用信号

a. $\underline{1}=(1,1,\dots ,1)$ 表示各处均为1的离散信号

b. $\underline{{\delta }_k}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)$ 表示 $k$ 处为 $1$，其余均为 $0$ 的离散信号

接下来我们来推导几个常用的DFT公式

1. $\underline{\mathcal{F}{\delta }_k}$

$$\begin{array}{rl}\underline{\mathcal{F}{\delta }_k}& =\sum _{n=0}^{N-1}\underline{{\delta }_k[n]}{\underline{\omega }}^{-n}\\ & =1\cdot {\underline{\omega }}^{-k}\\ & ={\underline{\omega }}^{-k}\end{array}$$

特别地，$\underline{\mathcal{F}\delta }=\underline{1}$

2. $\underline{\mathcal{F}{\omega }^k}$

$$\underline{\mathcal{F}{\omega }^k}=\sum _{n=0}^{N-1}{\underline{\omega [n]}}^k{\underline{\omega }}^{-n}$$

我们看它的第$m$项，

$$\begin{array}{rl}{\underline{\mathcal{F}\omega [m]}}^k& =\sum _{n=0}^{N-1}{\underline{\omega [n]}}^k{\underline{\omega [m]}}^{-n}\\ & =\sum _{n=0}^{N-1}{e}^{2\pi i\frac{nk}{N}}{e}^{-2\pi i\frac{mn}{N}}\\ & =\sum _{n=0}^{N-1}{e}^{2\pi i\frac{n(k-m)}{N}}\\ & =\{\begin{array}{ll}0& k\ne m\\ N& k=m\end{array}\end{array}$$

也就是说 $\underline{\mathcal{F}{\omega }^k}$ 只有在 $m=k$ 的时候值为 $N$，其他地方值均为 $0$，因此

$$\underline{\mathcal{F}{\omega }^k}=N\underline{{\delta }^k}$$