[EE261学习笔记] 3.傅里叶变换推导
在前几篇笔记中，我们推导了傅里叶级数相关公式，这次的笔记将进行傅里叶变换的推导
傅里叶变换的核心思想是：将任意非周期函数看作周期无限长的周期函数，因此可以调用傅里叶级数的相关公式
我们不妨设 f ( t ) f(t) f(t) 为周期 T T T 的信号函数，先导出：
f ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ C k e 2 π i k ( t T ) = ∑ k = − ∞ ∞ C k e 2 π i ( k T ) t (1) \begin{aligned} f(t) &= \sum_{k=-\infty}^\infty C_k e^{2\pi ik(\frac{t}{T})} \\ &= \sum_{k=-\infty}^\infty C_k e^{2\pi i(\frac{k}{T})t} \tag1 \end{aligned} f(t)=k=−∞∑∞Cke2πik(Tt)=k=−∞∑∞Cke2πi(Tk)t(1)
运用和傅里叶级数的系数推导过程相同的方法（详见傅里叶级数推导过程中的 C k C_k Ck推导），我们有：
∫ − T 2 T 2 C m d t = ∫ − T 2 T 2 f ( t ) e − 2 π i m ( t T ) d t − ∑ k ≠ m C k ∫ − T 2 T 2 e 2 π i ( k − m ) ( t T ) d t = ∫ − T 2 T 2 e − 2 π i m ( t T ) f ( t ) d t − 0 = ∫ − T 2 T 2 e − 2 π i ( m T ) t f ( t ) d t \begin{aligned} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} C_mdt &= \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-2\pi im(\frac{t}{T})}dt -\sum_{k \neq m}C_k \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}e^{2\pi i(k-m)(\frac{t}{T})}dt\\ &=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} e^{-2\pi im(\frac{t}{T})} f(t)dt - 0\\ &=\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} e^{-2\pi i(\frac{m}{T})t} f(t)dt \end{aligned} ∫−2T2TCmdt=∫−2T2Tf(t)e−2πim(Tt)dt−k=m∑Ck∫−2T2Te2πi(k−m)(Tt)dt=∫−2T2Te−2πim(Tt)f(t)dt−0=∫−2T2Te−2πi(Tm)tf(t)dt
等式左边为 T C m TC_m TCm，因此对于任意k，我们移项后可以得到：
C k = 1 T ∫ − T 2 T 2 e − 2 π i ( k T ) t f ( t ) d t (2) C_k = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} e^{-2\pi i(\frac{k}{T})t} f(t)dt \tag2 Ck=T1∫−2T2Te−2πi(Tk)tf(t)dt(2)
我们假设函数在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b] 内大于等于零，其余均为零，则我们令周期大于等于 a − b a-b a−b 的长度，并将其包围，如下图
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接下来，我们正式开始推导傅里叶变换
注意，当 T → ∞ T\to \infty T→∞ 时，如果我们直接用 ( 2 ) (2) (2) 式进行推导：
C k = 1 T ∫ − T 2 T 2 e − 2 π i ( k T ) t f ( t ) d t = 1 T ∫ a b e − 2 π i ( k T ) t f ( t ) d t \begin{aligned} C_k &= \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} e^{-2\pi i(\frac{k}{T})t} f(t)dt\\ &= \frac{1}{T}\int_a^b e^{-2\pi i(\frac{k}{T})t} f(t)dt \end{aligned} Ck=T1∫−2T2Te−2πi(Tk)tf(t)dt=T1∫abe−2πi(Tk)tf(t)dt
当我们对 C k C_k Ck 取模时（由高等数学知识，我们知道积分的绝对值小于等于绝对值的积分），
∣ C k ∣ ≤ 1 T ∫ a b ∣ e − 2 π i ( k T ) t ∣ ∣ f ( t ) ∣ d t \left \lvert C_k \right \rvert \leq \frac{1}{T}\int_a^b \left \lvert e^{-2\pi i(\frac{k}{T})t} \right \rvert \left \lvert f(t) \right \rvert dt ∣Ck∣≤T1∫ab∣∣∣e−2πi(Tk)t∣∣∣∣f(t)∣dt
由欧拉公式，我们可以知道 e i x e^{ix} eix 的模长总为 1 1 1（复数的模长等于其实部与虚部的平方的平方根），因此我们有：
∣ C k ∣ ≤ 1 T ∫ a b ∣ f ( t ) ∣ d t \left \lvert C_k \right \rvert \leq \frac{1}{T}\int_a^b \left \lvert f(t) \right \rvert dt ∣Ck∣≤T1∫ab∣f(t)∣dt
等式的右边的积分 ∫ a b ∣ f ( t ) ∣ d t \int_a^b \left \lvert f(t) \right \rvert dt ∫ab∣f(t)∣dt 为定积分，因此当 T → ∞ T\to \infty T→∞ 时， C k → 0 C_k \to 0 Ck→0
显然这个结果对实际应用而言毫无意义，直接带入并求极限并不能得到我们需要的结果。因此我们换用以下方式：
首先，我们定义
F f ( k T ) = ∫ − T 2 T 2 e − 2 π i ( k T ) t f ( t ) d t \mathscr{F}f(\frac{k}{T}) = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} e^{-2\pi i(\frac{k}{T})t} f(t)dt Ff(Tk)=∫−2T2Te−2πi(Tk)tf(t)dt
那么 ( 2 ) (2) (2)、 ( 1 ) (1) (1) 式就可以分别改写为：
C k = 1 T F f ( k T ) C_k = \frac{1}{T} \mathscr{F}f(\frac{k}{T}) Ck=T1Ff(Tk)
f ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ 1 T F f ( k T ) e 2 π i ( k T ) t f(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty \frac{1}{T} \mathscr{F}f(\frac{k}{T}) e^{2\pi i(\frac{k}{T})t} f(t)=k=−∞∑∞T1Ff(Tk)e2πi(Tk)t
我们发现，当 T → ∞ T\to \infty T→∞ 时， 1 T \frac{1}{T} T1 就成为了一个连续变量的 Δ s \Delta s Δs，而 k T \frac{k}{T} Tk 就可以写为自变量 s s s（这里我们将其设为 s s s ），不难发现，这就是我们对于积分的定义。因此,当 T → ∞ T\to \infty T→∞ 时，我们有:
f ( t ) = ∫ − ∞ ∞ e 2 π i s t F f ( s ) d s (3) f(t) = \int_{-\infty}^\infty e^{2\pi ist} \mathscr{F}f(s)ds\tag3 f(t)=∫−∞∞e2πistFf(s)ds(3)
F f ( s ) = ∫ − ∞ ∞ e − 2 π i s t f ( t ) d t (4) \mathscr{F}f(s) = \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi ist} f(t)dt\tag4 Ff(s)=∫−∞∞e−2πistf(t)dt(4)
放到信号系统中， t t t 表示时间， s s s 代表频率，因此，就有了时域和频域的区别；
但是要注意的是傅里叶变换并不一定是时间和频率的关系，其他变量也可以作为傅里叶变换的对象，如空间坐标 x x x 等等
由 ( 4 ) (4) (4)、 ( 3 ) (3) (3) 两式，我们可以得到傅里叶变换及傅里叶逆变换：
F f ( s ) = ∫ − ∞ ∞ e − 2 π i s t f ( t ) d t \Large\mathscr{F}f(s) = \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi ist} f(t)dt Ff(s)=∫−∞∞e−2πistf(t)dt
f ( t ) = F − 1 ( F f ( s ) ) = ∫ − ∞ ∞ e 2 π i s t F f ( s ) d s \Large f(t)=\mathscr{F}^{-1}(\mathscr{F}f(s)) = \int_{-\infty}^\infty e^{2\pi ist} \mathscr{F}f(s)ds f(t)=F−1(Ff(s))=∫−∞∞e2πistFf(s)ds