离散傅里叶变换DFT、离散余弦变换DCT、离散正弦变换DST，原理与公式推导

目前主流视频编解码算法都要使用到离散余弦变换（Discrete Cosine Transform）以及离散正弦变换（Discrete Sine Transform）对预测残差进行空域/频域的转换，通过牺牲部分高频的信息来达到压缩的目的。总的来说，DCT和DST都各自有八种形式，网上主要的资料都是介绍DCT-II，也就是第二类DCT，至于其他类型的资料少之又少，更不用说关于DST的介绍。过去，DCT-II由于其自身确实具有的优越性，在早期的编解码算法如H.264中大量使用，但后来人们发现其他的DCT和DST在某些情况下表现或许更加出色，例如，最新的H.266标准也将DCT-VIII以及DST-VII加入到了候选变换类型中。因此，为了弄懂H.266为什么要使用这三种变换类型，我们有必要对DCT和DST的原理做深入的理解。

很多人可能并不清楚DCT和DST从何而来，也不知道为什么它们两者为什么会有那么多种形式。实际上，DCT和DST的推导完完全全来自于离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform），他们两者本质上是DFT的特殊形式，因此，如果弄懂了DFT，DCT和DST也就自然理解了。所以，文章开始着重分析了DFT的一些性质，实际上是为后面做必要的铺垫。不过，要弄懂DFT，还要从傅里叶级数以及傅里叶变换说起，但由于篇幅限制，这里就不说了，大家可以找一些信号与系统的书籍资料学习一下，其实文章的内容大部分在那本绿皮的《数字信号处理》里面都有。因为这个文档我是写在Word里的，要转成Markdown不太方便，所以就直接转成图片了，后面篇幅比较长，但其实弄懂了前面的DFT后面的都只是一些重复性的工作而已。公式较多，内容较广，所以有些文字上的错误或者理解上的偏差在所难免。

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