矩阵分解（二）——QR分解

矩阵相关术语

正交矩阵

如果A^TA=E（E为单位矩阵），则n阶实矩阵A称为正交矩阵，通常用Q表示。
性质：
1、A^T的各行（列）是单位向量且两两正交
2、|A|=1或-1
3、A^T = A^-1
4、两个正交矩阵的积还是正交矩阵

施密特正交化

施密特正交化是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线性无关的向量组α1，α2，……，αm出发，求得正交向量组β1，β2，……，βm，使由α1，α2，……，αm与向量组β1，β2，……，βm等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，这种方法称为施密特正交化。

设向量组a₁a₂a₃线性无关，我们先来构造正交向量组β₁β₂β₃，按所要求的条件，β₁ 是a₁ 的线性组合，β₂ 是 a₁、a₂的线性组合。不妨设
β₁=a₁，β₂=a₂ - kβ₁，其中数值 的选取应满足>β₁ 与β₂ 垂直，即
<β₂，β₁> = 2，β₁ >-k<β₁，β₁> = 0，所以可得
k = 2，β₁ >/<β₁，β₁>
从而可得：

矩阵的QR分解

定义：一个非奇异方阵A，一定存在一个正交矩阵Q和上三角矩阵R(对角线元素都为正数)，使得
A = QR

• 证明
  把矩阵A按列向量分块，A=[α₁，α₂，…，α_n]，则向量组α₁，α₂，…，α_n线性无关。由施密特正交化可得正交向量组
  β₁ = α₁
  β₂ = α₂ - k₂₁β₁
  … … …
  β_n = α_n - k_n,n-1 β_n-1 - …- k_n,1 β₁
  其中k_(i,j) = (α_i, β_j)/(β_j,β_j)，上式可改写为：

α₁ = β₁
α₂ = k₂₁β₁ + β₂
… … …
α_n = k_n,1 β<sub>1 +kn2 β2 … + kn,n-1 βn-1 + βn
于是可得

再对β1，β2，…，βn单位化

则：

令Q = [γ1，γ2，…,γn]，是一个单位化的正交矩阵。另R为

即R是正线上三角矩阵，因此A有QR分解为A=QR。</sub>

代码实现

import numpy as np
def gram_schmidt(A):
    """Gram-schmidt正交化"""
    Q=np.zeros_like(A)
    cnt = 0
    for a in A.T:  #一个a表示一个列向量
      u = np.copy(a)
      for i in range(0, cnt):  #求出β1、β2....
            u -= np.dot(np.dot(Q[:, i].T, a), Q[:, i]) # 减去待求向量在以求向量上的投影
      e = u / np.linalg.norm(u)  # 归一化,整体的矩阵元素平方和，再开根号
      Q[:, cnt] = e
      cnt += 1
    R = np.dot(Q.T, A) #A.T = A^-1
    return (Q, R)
A = np.array([[3,14,9],[6,43,3],[6,22,15]],dtype=float)
(Q, R) = gram_schmidt(A)
np.set_printoptions(precision=4, suppress=True)
Q,R

(array([[ 0.3333, -0.1333, 0.9333],
[ 0.6667, 0.7333, -0.1333],
[ 0.6667, -0.6667, -0.3333]]),
array([[ 9., 48., 15.],
[ 0., 15., -9.],
[ 0., 0., 3.]]))