编程之美读书笔记（3） 统计在从1到n的正整数中1出现的次数

问题：

给定一个十进制正整数N，写下从1开始，到N的所有整数，然后数一下其中出现的所有“1”的个数。

例如：
N= 2，写下1，2。这样只出现了1个“1”。

N= 12，我们会写下1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12。这样，1的个数是5。

问题一：

写一个函数f(N),返回1到N之间出现1的个数，比如f（12）= 5。

解法一：

让我们首先想到的一个方法是：遍历1~N，统计每个数1出现的个数，相加便得到所有1的个数。

#include
#include
#include
long long int Count(long long int n){
    long long int count = 0;
    while(n){
        count += (n % 10 == 1)?1:0;
        n = n / 10;
    }
    return count;
}
int main()
{
	long long int n,i,count;
	while(scanf("%lld",&n) != EOF){
		count = 0;
		for(i = 1;i <= n;i++){
		    count += Count(i);
		}
		printf("%lld\n",count);
	}
	return 0;
}

这个方法虽然很容易想，但是不是一个好方法。致命问题就是效率问题。如果给定的N很大，需要很长时间才能得出计算结果。

解法二：

分析的出规律。

<1>1位数情况

这个简单，如果N = 3，那么从1到3的所有数字：1,2,3，只有个位数出现1，而且只出现一次。可以发现，N是个位数时，N >=1,那么f（N）= 1；N = 0，f（N）= 0；

<2>2位数情况

<3>3位数情况

同理分析4位数，5位数。。。。。

设N = abcde ,其中abcde分别为十进制中各位上的数字。

如果要计算百位上1出现的次数，它要受到3方面的影响：百位上的数字，百位一下（低位）上的数字，百位一上（高位）上的数字。

如果百位上数字为0，百位上可能出现1的次数由更高位决定。比如：12013，则可以知道百位出现1的情况可能是：100~199，1100~1199,2100~2199，，.........，11100~11199，一共1200个。可以看出是由更高位数字（12）决定，并且等于更高位数字（12）乘以 当前位数（100）。

如果百位上数字为1，百位上可能出现1的次数不仅受更高位影响还受低位影响。比如：12113，则可以知道百位受高位影响出现的情况是：100~199，1100~1199,2100~2199，，.........，11100~11199，一共1200个。和上面情况一样，并且等于更高位数字（12）乘以 当前位数（100）。但同时它还受低位影响，百位出现1的情况是：12100~12113,一共114个，等于低位数字（113）+1。

如果百位上数字大于1（2~9），则百位上出现1的情况仅由更高位决定，比如12213，则百位出现1的情况是：100~199,1100~1199，2100~2199，...........，11100~11199,12100~12199,一共有1300个，并且等于更高位数字+1（12+1）乘以当前位数（100）。

/*N = abcde 百位上数字是c
仅以求百位上出现1的情况为例。
*/
int count = 0;
//百位上数字为0,百位上可能出现1的次数由更高位决定
if(c == 0){
	//等于更高位数字（ab）* 当前位数（100）
	count += ab*100;
}
//百位上数字为1,百位上可能出现1的次数不仅受更高位影响还受低位影响
else if(c == 1){
	//更高位数字（ab） *  当前位数（100） + 低位数字（de）+1
	count += ab*100 + de + 1;
}
//百位上数字大于1（2~9）,百位上出现1的情况仅由更高位决定
else{
	//（更高位数字+1（ab+1））* 当前位数（100）
	count += (ab + 1) * 100;
}

#include

long long int Count(long long int n){
	//1的个数
	long long int count = 0;
	//当前位
	long long int Factor = 1;
	//低位数字
	long long int LowerNum = 0;
	//当前位数字
	long long int CurrNum = 0;
	//高位数字
	long long int HigherNum = 0;
	if(n <= 0){
		return 0;
	}
	while(n / Factor != 0){
		//低位数字
		LowerNum = n - (n / Factor) * Factor;
		//当前位数字
		CurrNum = (n / Factor) % 10;
		//高位数字
		HigherNum = n / (Factor * 10);
		//如果为0,出现1的次数由高位决定
		if(CurrNum == 0){
			//等于高位数字 * 当前位数
			count += HigherNum * Factor;
		}
		//如果为1,出现1的次数由高位和低位决定
		else if(CurrNum == 1){
			//高位数字 * 当前位数 + 低位数字 + 1
			count += HigherNum * Factor + LowerNum + 1;
		}
		//如果大于1,出现1的次数由高位决定
		else{
			//（高位数字+1）* 当前位数
			count += (HigherNum + 1) * Factor;
		}
		//前移一位
		Factor *= 10;
	}
	return count;
}

int main(){
	long long int a;
	while(scanf("%lld",&a) != EOF){
		printf("%lld\n",Count(a));
	}
	return 0;
}