实信号、复信号Es、N0、EsN0、EbN0、SNR的含义及关系详解

关于EsN0、EbN0与SNR三者关系的描述，在MATLAB帮助文档中搜索词条“AWGN Channel”有比较详细的描述，但有些细节没有讲清楚。

简单翻译解释一下，就是

• SNR表示每个采样点的信号噪声比。
• EbN0表示每个比特能量与噪声功率谱密度的比值。
• EsN0表示每个符号能量与噪声功率谱密度的比值。

EsN0与EbN0的关系

EsN0与EbN0的关系比较简单，上面描述了一大堆，核心是
如果不和信道编码一起算，假设为$M$进制调制，那么其关系式为
$$E_s/N_0(\mathrm{d}\mathrm{B})=E_b/N_0(\mathrm{d}\mathrm{B})+10{\log }_{10}(M)$$

重点是EsN0和SNR的关系，如下

EsN0与SNR的关系

也就是说，对于

• 复信号
  $$\begin{gathered} E_s/N_0(\mathrm{d}\mathrm{B})=10{\log }_{10}(T_{sym}/T_{samp})+SNR(\mathrm{d}\mathrm{B}) \\ =10{\log }_{10}(F_s/R_B)+SNR(\mathrm{d}\mathrm{B}) \end{gathered}$$

• 实信号
  $$\begin{gathered} E_s/N_0(\mathrm{d}\mathrm{B})=10{\log }_{10}(0.5\ast T_{sym}/T_{samp})+SNR(\mathrm{d}\mathrm{B}) \\ =10{\log }_{10}(0.5\ast F_s/R_B)+SNR(\mathrm{d}\mathrm{B}) \end{gathered}$$

其中对复信号的情况进行了推导，过程有了，不再赘述，核心是

$$N_0=N/B_n$$

为噪声双边功率谱密度，将其代入即可，各参数代表的含义为

• $S$为输入信号的功率，单位W
• $N$为噪声功率，单位W
• $B_n$为噪声带宽，单位Hz
• $F_s$为采样频率，单位Hz

那么问题是，实信号关系式为什么比复信号多乘了0.5，且在下面有说明“Note that…”，即对于复信号的情况，噪声带宽为

$$B_n=F_s=1/T_{\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{p}}$$

那么对于实信号，噪声带宽是多少呢？其实，对于实信号，噪声带宽为

$$B_n=F_s/2$$

这样就不难得到实信号时EsN0与SNR的关系了，但为什么实信号时噪声带宽为$F_s/2$，或许可以这样理解，实信号的频谱是关于$F_s/2$对称的，也就是说只有一半的频谱是有用的，自然噪声的影响只能算$F_s/2$的带宽范围；而对于复信号，更准确地说是解析信号，其频谱是在$0-F_s$范围内的，噪声的影响为整个$F_s$范围，所以此时噪声带宽为$F_s$。

仿真验证

awgn函数加噪源码说明

out = awgn(sig, reqSNR, 'measured')

一般来说awgn输入为该3个参数，sig表示将要加噪的信号，reqSNR表示信噪比（信号功率与噪声功率之比），'measure’表示在加噪之前计算信号功率。

函数参数中指定为’measured’时，在加入噪声之前计算信号功率。

sigPower = sum(abs(sig(:)).^2)/numel(sig); % linear

reqSNR单位为dB形式，转换为线性形式

reqSNR = 10^(reqSNR/10);

则噪声功率为

noisePower = sigPower/reqSNR;

然后再生成高斯白噪声，分为实信号和复信号两种情况，复信号时噪声为

noise = sqrt(noisePower/2)* (randn(size(sig)) + 1i*randn(size(sig)));

实信号时噪声为

noise = sqrt(noisePower)* randn(size(sig));

其中，randn函数作用为生成功率为1的高斯白噪声序列。

EsN0与SNR关系验证（以BPSK调制为例）

N = 300; % 符号个数
sym = randi([0 1],1,N);
Fs = 9600;
RB = 200;
alpha = 0.3; % 滚降系数
fc = 3000; % 载波
fd = Fs/RB; % 过采倍数
EsN0 = 15; % 符号信噪比 dB为单位
LinEsN0 = 10^(EsN0/10); % 线性单位的EsN0
SNR = EsN0 - 10*log10(Fs/RB); % SNR 以dB为单位
%% 基带信号
M = 2;
Len = N*Fs/RB;
t = 0:1/Fs:(Len-1)/Fs;
pha_bpsk = pskmod(sym,M); % 生成相位
figure;plot(pha_bpsk,'.b','MarkerSize',15);
title('BPSK星座图');

h = rcosine(RB,Fs,'fir/sqrt',alpha); % 根升余弦成形
bas_bpsk = rcosflt(pha_bpsk,RB,Fs,'filter',h).';
delay=(length(h)+1)/2; %%%%时延
bas_bpsk=bas_bpsk(delay:end-delay+1);
sig_bpsk_pure = bas_bpsk.*exp(1j*2*pi*fc*t);
sig_bpsk_n = awgn(sig_bpsk_pure,SNR,'measured');

% EsN0 SNR的关系
sigPower = sum(abs(sig_bpsk_pure(:)).^2)/numel(sig_bpsk_pure); % 信号功率
sigma_n2=sigPower/10^(SNR/10); % 噪声功率
noise = sqrt(sigma_n2/2)* (randn(size(sig_bpsk_pure)) + 1i*randn(size(sig_bpsk_pure))); % 生成复高斯噪声
nlen = length(noise);
Et = sum(abs(noise).^2); % 噪声能量（时域）
Ef = sum(abs(fft(noise)/sqrt(nlen)).^2);% 噪声能量（频域）
wd = ones(1,fd); % 积分窗，长度为一个符号采样点数
Es = mean(conv(abs(sig_bpsk_pure).^2,wd)); % 单个符号的能量（时域符号周期积分求平均的方法）
Es1 = sum(abs(sig_bpsk_pure(:)).^2)/N; % 单个符号的能量（总能量除以符号个数）
N0 = mean(abs(noise).^2); % 噪声双边功率谱密度 通过时域求得
N0pri = mean(abs(fft(noise)/sqrt(nlen)).^2); % 噪声双边功率谱密度 通过频域求得
EsN0pri = Es/N0; % 通过计算符号能量和噪声双边功率谱密度得到的EsN0
SNRpri = 10*log10(sigPower/sigma_n2); % 信噪比

计算结果

代码中EsN0设置为15dB，计算结果因生成的随机符号序列不同可能会稍有不同，但都满足以上分析，将本人计算结果分享如下

噪声能量
Et = 450.0291
Ef = 450.0291

信号功率
sigPower = 0.0208

噪声功率
sigma_n2 = 0.0315

信号单个符号能量
Es = 0.9928
Es1 = 0.9960

噪声双边功率谱密度
N0 = 0.0313
N0pri = 0.0313

EsN0线性单位值
LinEsN0 = 31.6228

EsN0通过Es/N0得到的值
EsN0pri = 31.7677

由公式得到的SNR值（dB为单位）
SNR = -1.8124

由10*log10(信号功率/噪声功率)计算得到的SNR值（dB为单位）
SNRpri =  -1.8124