【Luogu_P1052】过河

题目描述

在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0,1,…,L（其中L是桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。

题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。

输入格式

第一行有1个正整数L，表示独木桥的长度。

第二行有3个正整数S,T,M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离及桥上石子的个数。

第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

输出格式

一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。

输入输出样例

输入

10
2 3 5
2 3 5 6 7

输出

2

思路：

我们可以设$f[i]$为到当前位置踩到的石子的最小值，但由于L<=10⁹，会超
但我们思考：这么多位置都是有用的吗？
假如两个点的位置距离过大，中间的一些点可不可以压缩呢？
其实只要两点之间的距离大于$t$乘$t+1$就可以压缩
应为连续$t$点个都可以走到时，只要在连续$t$个点分别加上$t$就可以表示下一组连续$t$的点
证明：令答案为 x：
即 $x=ms+nt(1\le m\le b-1)$
显然当 n≥0 时 x 可以用 s,t 表示出来
因此当 n=−1 时 x 取得最大值，此时 $x=ms-b$。
显然当 $m$ 取得最大值 $t-1$ 时 $x$ 最大，此时$x=(t-1)s-t=st-s-t$
因此 $a,b$ 所表示不出的最大的数是 $st-s-t$
我们只需要取$t乘t-1$就行了
因此最大才90

代码:

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

const int MAXN=1000010;
int l, n, s, t;
int a[1001], f[MAXN];
int dis[1001], c[MAXN];

int main(){
	scanf("%d", &l);
	scanf("%d%d%d", &s, &t, &n);
	int sum=0;
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		scanf("%d", &a[i]);
		if(a[i]%s==0)
			sum++;
	}
	if(s==t)
	{
		printf("%d", sum);
		return 0;
	}
	sort(a+1, a+1+n);
	dis[n+1]=min(l-a[n], 90);
	l=0;
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		dis[i]=min(a[i]-a[i-1], 90);
		l+=dis[i];
		c[l]=1;
	}
	l+=dis[n+1];
	for(int i=1; i<=l+9; i++)
	{
		f[i]=100000000;
		for(int j=s; j<=t; j++)
			if(i>=j)
				f[i]=min(f[i], f[i-j]+c[i]);
	}
	int ans=100000000;
	for(int i=l; i<=l+9; i++)
		ans=min(ans, f[i]);
	printf("%d", ans);
	return 0;
}