【动态规划】加法最大 (ssl 1595)/乘积最大 (ssl 1007)

$$加法最大$$

Description

设有一个长度为n的数字字符串，分成k+1个部份，使其k+1部份相加的和为最大。例如：数字串’340670’，k=1，其加法有

3+40670=40673 34+0670=704 340+670=1010 3406+70=3476 34076+0=34076

其最大和为40676。

问题：当数字串和k给出后，找出一个分法使和为最大。

Sample Input

6 1

340670

Sample Output

40673

$题目大意:$

$有一个长度为n的数字字符串，要求插入k个加号$

$（不能在最前面和最后面），求结果最大是多少$

解题方法：

我们插入加号可以在已经有的加号右边直接加，因为都是加号然后在右方的每一个位置都枚举一遍（要先求出第i到第j的数字是多少），即可

初始化：

$$f[i][0]=f[i-1][0]\ast 10+d[i];$$

状态转移方程：

$$f[i][k]=max(f[i][k],f[j][k-1]+s[j+1][i]);$$

注释：

f[i][k]表示前i个数加k个加号的最大值

#include
#include
using namespace std;
int f[100][100],s[100][100],d[100],n,m;
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	getchar();//把换行符去掉
	for (int i=1;i<=n;i++)
	  {
	  	d[i]=getchar()-48;//把数字字符转换为数字
	  	f[i][0]=f[i-1][0]*10+d[i];//初始化
	  }
	for(int i=1;i<=n;i++)
	  {
	  	s[i][i]=d[i];
	  	for (int j=i+1;j<=n;j++)
	  	  s[i][j]=s[i][j-1]*10+d[j];//求i到j的数字
	  }
	for (int k=1;k<=m;k++)//枚举加号
	  for (int i=k+1;i<=n-m+k;i++)//求1到i的这一段
	    for (int j=k;j<i;j++)//分割线
	      f[i][k]=max(f[i][k],f[j][k-1]+s[j+1][i]);//状态转移方程
	printf("%d",f[n][m]);
}

---

$$乘积最大$$

Description

今年是国际数学联盟确定的“2000——世界数学年”，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰90周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动，你的一个好朋友XZ也有幸得以参加。活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目：

设有一个长度为N的数字串，要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分，找出一种分法，使得这K+1个部分的乘积能够为最大。

同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子：

有一个数字串：312， 当N=3，K=1时会有以下两种分法：

1) 3*12=36

2) 31*2=62

这时，符合题目要求的结果是：31*2=62

现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。

Input

程序的输入共有两行：

第一行共有2个自然数N，K（6≤N≤40，1≤K≤6）

第二行是一个长度为N的数字串。

Output

相对于输入，应输出所求得的最大乘积（一个自然数）。

Sample Input

4 2

1231

Sample Output

62

$题目大意:$

$有一个长度为n的数字字符串，要求插入k个加号$

$（不能在最前面和最后面），求结果最大是多少$

解题方法：

同上，代码就是改一下范围，把加号改乘号，就可以AC

#include
#include
using namespace std;
int f[8][42],s[42][42],d[42],n,m;//改范围
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	getchar();
	for (int i=1;i<=n;i++)
	  {
	  	d[i]=getchar()-48;
	  	f[i][0]=f[i-1][0]*10+d[i];
	  }
	for(int i=1;i<=n;i++)
	  {
	  	s[i][i]=d[i];
	  	for (int j=i+1;j<=n;j++)
	  	  s[i][j]=s[i][j-1]*10+d[j];
	  }
	for (int k=1;k<=m;k++)
	  for (int i=k+1;i<=n-m+k;i++)
	    for (int j=k;j<i;j++)
	      f[i][k]=max(f[i][k],f[j][k-1]*s[j+1][i]);//把加号改乘号
	printf("%d",f[n][m]);
}