codevs 1105 过河 2005年NOIP全国联赛提高组 题解（缩点方法详解）

题目描述 Description

在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0，1，……，L（其中L是桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。
题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。

输入描述 Input Description

输入第一行有一个正整数L（1<=L<=109），表示独木桥的长度。第二行有三个正整数S，T，M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离，及桥上石子的个数，其中1<=S<=T<=10，1<=M<=100。第三行有M个不同的正整数分别表示这M个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

输出描述 Output Description

输出只包括一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。

样例输入 Sample Input

10
2 3 5
2 3 5 6 7

样例输出 Sample Output

2

数据范围及提示 Data Size & Hint

数据规模

对于30%的数据，L<=10000；

对于全部的数据，L<=109。

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这个题是一道动归题，我们可以得到一个明显的状态转移方程：

f[i]=min(f[ i-1 ] +stone [ i ] , f [ i ] )  stone[i]={0,1}

即到i处时我们取当前个状态与上一个状态的扩展（若当前有石头则上一个状态+1，没有则不加）去最小值。

好了，现在我们大概能过30%的数据，但如果要100%的，我们还得另想办法优化。

空间上和时间上我们已经不能在优化了（如果那位大神能优化，请留言，谢谢）

当我们看到10^9与100块石头，和s，t均小于等于10时，我们会想到有的石头间距可能大于t，即要跳好几步才会到达下一块石头的左右处。而我们会发现这些步数是无关紧要的，我们只需要把他们缩小，即在不影响最终结果的基础上

mod一下t就行了。

但是为什么要mod  t呢？首先，我们可以知道，青蛙最多跳t，由于两石块间的间距远大于t，且这之间没有石头，所以青蛙会以最大的t去走，至少是在第i块石头向后t个距离，到第i+1块向前t个距离处，它会一直跳的（其实不跳t也可以，但是我们想最优，所以青蛙在中间如何跳是无所谓的，那么我们就可以把它极限化，即取t）

解释完mod t，先一步就是推导如何计算了。

既然我们要缩短距离L（L=b[i]-b[i-1]）那么我们就需考虑，是不是L的每一个点都能缩。我们利用极限的思想，青蛙跃过一个石头，最多也就到b[i-1]+t处（同理，最少会到b[i] - t ），即 b[i-1]+t 到 b[i] - t 间的距离要缩减。

综上，我们就可以得到一个公式a[i]=a[ i-1]+X , X=(b[i]-t-b[i-1]-t)%t (即缩点后的长度)，但是我们怕X会小于t，这样会导致青蛙直接跳过这段距离，所以我们要再加t  即a[i]=a[ i-1]+(b[i]-b[i-1]-2*t)%t +t。

注意：1.我们只有在L>t 时我们需要缩点（这点坑回我了，我还以为一开始我就想错了……）

        2.不要忘记排序

  3.讨论s==t的情况

Ps：仙儿还有一种不用讨论的，即不是-2t而是减t的方法，这里就不多说了。

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++代码如下++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

 

#include 
#include 
#include 
#include 
#include  
using namespace std;
int f[100000],a[105],b[105],stone[100000];
int L,s,t,m,z,ans;
int main()
{
 	cin>>L>>s>>t>>m;
 	for(int i=1;i<=m;i++)	cin>>a[i];
 	a[0]=0;f[0]=0;sort(a+1,a+m+1);
 	if(s==t)
 	{
	 		for(int i=1;i<=m;i++)
	 		if(a[i]%t==0)ans++;
	 		cout<t)
	 		b[i]=b[i-1]+(a[i]-a[i-1]-2*t)%t+t;
	 		else b[i]=b[i-1]+a[i]-a[i-1];
	 		} L=b[m+1];
	memset(stone,0,sizeof(stone));
	for(int i=1;i<=m;i++)stone[b[i]]=1;
	for(int i=1;i<=L+t-1;i++)f[i]=0x3f3f3f3f;
	for(int i=1;i<=L+t-1;i++)
	 for(int k=s;k<=t;k++)
	 if(i-k>=0)
	 f[i]=min(f[i-k]+stone[i],f[i]);
    z=0x3f3f3f3f;
    for(int i=L;i<=L+t-1;i++)
    		z=min(z,f[i]);
	cout<