noip 2000年 乘积最大 - DP

这是学习DP时接触的一道题，当时忘记发了，现在补发一下

【题目描述】

今年是国际数学联盟确定的“2000——世界数学年”，又恰逢我国著名数学家华罗庚先 生诞辰90周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动，你的一个好朋友XZ也有幸得以参加。活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目: 
设有一个长度N的数字串，要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分，找出一种分法，使得这K+1个部分的乘积能够为最大。 
同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子： 
有一个数字串: 312，当N=3，K=1时会有以下两种分法： 
1）3*12=36 
2）31*2=62 
这时，符合题目要求的结果是： 31*2=62 
现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。

【输入】

输入共有两行: 
第一行共有2个自然数N,K (6<=N<=40，1<=K<=6) 
第二行是一个K度为N的数字串。
【输出】

所求得的最大乘积（一个自然数）。
【输入样例】

4 2
1231
【输出样例】

62

顺着题目的思路想下去，多个乘号的情况似乎和更少的情况是有关联的，k个乘号的结果也许能从（k-1）个的结果导出，试试看

假设dp[n][k]表示前n位上有k个乘号时的最大乘积，var[p][q]表示从原数字第p位读到第q位得到的数字，

那么很容易确定的是dp[X][0]=var[1][X]（没有乘号的情况），以及dp[X][1]=max{dp[x][0]*var[x+1][X]},x从1到X-1，表示乘号的插入情况从在第1位后面枚举到在第(X-1)位后面

同样的，在一般情况下，dp[n][k]=max{dp[x][k-1]*var[x+1][n]},x从k取到(n-1)，表示乘号的插入情况从在第k位后面枚举到第(n-1)位后面，乘式中dp的部分dp[x][k-1]这个因子保障左边的(k-1)个乘号达到了最大结果，只要枚举最右边那第k个乘号的位置就可以了

这样就有了状态转移方程，其中状态转移的外部循环以k为准，内部循环以n为准，把打擂台的过程封装进一个max_times就可以了

注意到n可以取到恐怖的40位... 我一开始还以为要徒手打大数乘法，不过看了下测试点的数据都不大，所以可以naively用int存储，也可以过...

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int N, K;
char str[41];
int val[41][41] = { 0 };
int dp[41][6];

int max_times(int n, int k)
{
	int max_rst = 0;
	for (int i = k; i <= n - 1; ++i)
		max_rst = max_rst > dp[i][k - 1] * val[i + 1][n] ? max_rst : dp[i][k - 1] * val[i + 1][n];
	return max_rst;
}

int main()
{
	scanf("%d %d", &N, &K);
	scanf("%s", str + 1);
	for (int i = 1; i <= N; ++i)
		for (int j = i; j <= N; ++j)
			for (int k = 0; k <= j - i; ++k)
				val[i][j] += pow(10, j - i - k)*(str[i + k] - '0');

	for (int i = 1; i <= N; ++i)
		dp[i][0] = val[1][i];

	for (int k = 1; k <= K; ++k)
		for (int i = 1; i <= N; ++i)
			dp[i][k] = max_times(i, k);

	printf("%d", dp[N][K]);
	return 0;
}