直线交点的凸包(百度之星2009初赛第二场第三题)

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题意很简单，给n条直线，求包围这n条直线的所有交点的凸包。因为交点的数量级在O(n^2)，而这题的n是100000，所以朴素的写法是不能过大数据的。

高效算法的基本思路就是尽量先排除肯定不在凸包上的点，只考虑那些有可能在凸包上的点。首先我们考虑没有任何两条直线平行的情况。算法实际上很简单，先将直线按斜率排序，只要排成一圈即可，哪一条在最前面无所谓。设直接为{L1,L2,…,Ln}然后，只需考虑所有相邻直线L_i与L_{i+1}（包括Ln与L1）的交点即可，这样的交点共有O(n)个，然后再用O(nlogn)的算法求凸包。故总的复杂度为O(nlogn)。

如下图所示，四条直线，只需考虑四个红色交点即可。

算法证明直观描述如下：显然，对于组成凸包的每条线段而言，所有的交点都在这条线段的同侧（或在这线段上）。分两种情况考虑凸包上的线段：

(1) 这线段是原有直线的一部分。因为所有交点都在其一侧，可以发现，这些直线在其另一侧是呈“放射状”的，故凸包线段两端的点，一定是该直线与最上和最下（也即斜率与该直线最接近的两条）直线的交点。

(2) 这线段不是原有直线的一部分。在这种情况下，线段的两端一定是某两条直线的交点，而这两条直线一定也是斜率相邻的。不然的话，若有一条直线的斜率在两者之间，则一定会有一个交点交到凸包这条线的另一侧。（这里感觉不好说清楚……）

最后再加入平行直线的情况。对于一组平行直线，容易发现只需考虑最“外侧”的两条即可。这样的话，原来的一条直线最多变成两条线，故原来的一个交点最多变成四个点，但这只是一个常数倍数，所以时间复杂度不变。