图的割点算法与割边算法

图的割点

在一个无向连通图中，如果删除某个顶点后，图不再连通（即任意两点之间不能相互到达），我们称这样的顶点为割点（或者称割顶）。

上图中的2号顶点就是割点，因为删除2号后，4,5不通，1,6也不通。

很容易想到的方法是：依次删除每一个顶点，然后用dfs或者bfs来检查图是否依然连通。如果删除某个顶点后，导致图不再连通，那么刚才删除的顶点就是割点。

这种方法的时间复杂度是O(N(N+M))。

 

下面寻找复杂度低的方法来解决。

dfs遍历上图后，如下图，圆圈中数字是顶点编号，圆圈右上角的数表示这个顶点在遍历时是第几个被访问到的，叫做“时间戳”。

思路：

假如我们在dfs时访问到了u点，此时图就会被u点分割成为两部分。一部分是已经被访问过的点，另一部分是没有被访问过的点。如果u点是割点，那么剩下的没有被访问过的点中至少有一个点在不经过u点的情况下，是无论如何再也回不到已经访问过的点了。假如到了u后，图中还有顶点v是没有访问过的点，如何判断v在不经过u的情况下是否还能回到之前访问过的任意一个点。从生成树来看，u是v的父亲，而之前访问过的顶点就是祖先。也就是如何检测v在不经过父亲u的情况下还能否回到祖先。那就是对v再进行一次dfs，但此次遍历不经过u，看能否回到祖先。不能u即为割点。

对于某个顶点u，如果存在至少一个顶点v（u的儿子），使得low[v]>=num[u]，即不能回到祖先，那么u点为割点。

代码：

#include
#define MAX 100
using namespace std;
int n,m,root;
int num[MAX],low[MAX],flag[MAX],index=0; //index用来进行时间戳的递增
vector e[MAX];
//割点的核心算法
void dfs(int cur,int father)//传入两个参数，当前顶点编号和父顶点编号
{
    int child=0,i;
    index++; //时间戳+1
    num[cur]=index; //当前d顶点cur的时间戳
    low[cur]=index; //当前顶点cur能访问到最早顶点的时间戳，刚开始是自己
    for(i=0;i=num[cur],则当前d顶点为割点
            if(cur!=root&&low[e[cur][i]]>=num[cur])
                flag[cur]=1;
            //如果当前顶点是根节点，在生成树中根节点必须有两个儿子，那么这个顶点才是割点
            if(cur==root&&child==2)
                flag[cur]=1;
        }
        else if(e[cur][i]!=father)
        //否则如果顶点e[cur][i]曾经被访问过，并且这个顶点不是当前顶点cur的父亲，则需要更新当前结点cur能否访问到最早顶点的时间戳
        {
            low[cur]=min(low[cur],num[e[cur][i]]);
        }
    }
}
int main()
{
    int i,x,y;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        e[x].push_back(y);
        e[y].push_back(x);
    }
    root=1;
    dfs(1,root); //从1号顶点开始进行深度优先遍历
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        if(flag[i]==1)
            printf("%d ",i);
    }
    return 0;
}

图的割边

即在一个无向连通图中，如果删除某条边后，图不再连通，则成为割边。

 

求割边时，只需要将求割点的算法修改一个符号即可。只需要将low[v]>=num[u]改为low[v]>num[u]。

因为low[v]>=num[u]代表的是v不可能在不经过父亲u而回到祖先。如果low[v]=num[u]，表示还可以回到父亲。而low[v]>num[u]则表示连父亲都回不到了。倘若顶点v不能回到祖先，也没有另外一条路能回到父亲，那么u-v就是割边。

                                                                                                                                           摘自《啊哈！算法》