NOIP2017初赛阅读程序写结果第4题题解

NOIP2017初赛阅读程序写结果第4题题解

一、题面

#include
using namespace std;
int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    int x = 1;
    int y = 1;
    int dx = 1;
    int dy = 1;
    int cnt = 0;
    while (cnt != 2)
    {
        cnt = 0;
        x = x + dx;
        y = y + dy;
        if (x == 1 || x == n)
        {
            ++cnt;
            dx = -dx;
        }
        if (y == 1 || y == m)
        {
            ++cnt;
            dy = -dy;
        }
    }
    cout << x << " " << y << endl;
    return 0;
}

输入 1：4 3
输出 1：_________
输入 2：2017 1014
输出 2：_________

二、前置约定

1.我们称一次

		cnt = 0;
        x = x + dx;
        y = y + dy;
        if (x == 1 || x == n)
        {
            ++cnt;
            dx = -dx;
        }
        if (y == 1 || y == m)
        {
            ++cnt;
            dy = -dy;
        }

为一步。

2.我们称$x==1||x==n||y==1||y==m$为到边缘。

三、解法

可以发现每一步$(x+y)$都有三种情况的变化：+2，-2，不变。所以每一步$(x+y)$奇偶性不变。而最开始1+1是偶数，所以最后$(x+y)$也是偶数。

显然最后不会是n=1且m=1，因为在这之前程序就会结束。

考虑n，m的奇偶性

第一种情况：两个都是偶数 。则$(1+n)$，$(1+m)$都是奇数。最后x=n，y=m。

第二种情况：n是偶数，m是奇数。则$(1+n)$，$(n+m)$都是奇数，最后x=1，y=m。

第三种情况：n是奇数，m是偶数。与第二种情况类似。最后x=n，y=1。

那么问题来了，当n和m都是奇数的时候答案是什么呢？

因为x，y奇偶性相同，m每次到边缘x，y都是奇数。所以从某一次到边缘到下一次到边缘必经过偶数步。又每一步$(x+y)$变化偶数，所以$(x+y)$除以4的余数始终不变，为1+1=2。

此时又分几种情况：

第一种情况：n=4p+3，m=4q+3。则$(n+1)$，$(m+1)$都是除以4余0的数。最后x=n，y=m。

第二种情况：n=4p+1，m=4q+3。则$(n+m)$，$(m+1)$都是除以4余0的数。最后x=n，y=1。

第三种情况：n=4p+3，m=4q+1。则$(n+m)$，$(n+1)$都是除以4余0的数。最后x=1，y=m。

那么问题来了，当n和m都是除以4余1的数的时候的答案是什么呢？

因为因为每次到边缘必有x=4u+1，y=4v+1。所以从某一次到边缘到下一次到边缘必经过4的倍数步。又每一步$(x+y)$变化偶数，所以$(x+y)$除以8的余数始终不变，为2。

像之前那样，再分4种情况讨论。。。

这种算法在最坏情况下时间复杂度是$O(logn)$，期望时间复杂度为O(1)，非常适合考场上笔算（毕竟这是初赛题，不过这题数据太水，是$O(1)$的）

四、标程

因为这是初赛题，我就不在此次粘O(logn)的程序了。