通信网第二章（一）——最短主树（P算法、K算法、破圈法、穷举法、调整法）

无限制条件：

（1）P算法            （2）K算法        （3）破圈法

有限制条件：

（1）穷举法(可用置换法)                     （2）调整法(可用E-W算法)

(1)P算法

顺序取端的谱列姆（Prim）算法，简称P算法

P0：起始，置邻接阵为全零阵。任取一端Vj1 ，作子图G1={Vj1}。比较G1到G-G1中各边长度，取最小的。把所连接端Vj2并入G1得 G1 ={Vj1,Vj2}     

示例

依算法可顺序得：

G1={v1}

G2={v1,v2}                         d12最小

G3={v1,v2,v5}                    d25最小

G4={v1,v2,v5,v4}               d54最小

G5={v1,v2,v5,v4,v3}          d23最小      

邻接阵：

     

树枝总长为：d12+ d25 + d54 + d23=8

 

P算法复杂性

从算法开始到终止共进行n-1步，每步须从r个Gr中的端与n-r个G-Gr中的端间的距离进行比较，求出最小者， Gr和G-Gr最多有r(n-r)条边，可见第r步中最多要作r(n-r)-1次比较，由此得到P算法的计算量为：

这是n3的量级。

P算法中的比较是有重复的，若每次比较结果都记下来，则比较次数可降到至n2级，不过，算法将比较复杂

无论是n3还是n2,复杂性都属于多项式型，即当n很大的时候，一般均可借助于计算机来实现。

 

（2）K算法

K算法：即顺序取边的克鲁斯格尔（Kruskal）算法

K0：起始，邻接阵C为全零。把所有边按长度排成有序的队列，取最短边dij，与相关联的端构成子图G1={vi,vj} ，并在边的队列中删去这条边，置cij=cji=1。

K1：设已取r条边、r+1个端所构成的子图Gr，在所剩的边队列中取最短边，检查加上这条边后是否有环，也就是这边的两端是否已在Gr中。若有环，删去这条边，继续取最短的，直到不形成环。

设此时所取的边长为drk，则得Gr+1=Gr∪{vr,vk}，置crk=ckr=1。

K2：若r

K算法的复杂性分析

K算法的时间复杂度由排序算法决定，若采用快排则时间复杂度为O(n log n)

如：对于n个端的图，最大边数是(n(n-1) )/2,则复杂性可以为n2long2n量级，是多项式型的，这里忽略了检查是否形成环的计算量，可证明这个量的量级低于n2long2n，当n大时可以不计。（参照《图论与网络流理论》P21）

 

（3）破圈法

从联结图中寻找圈，然后在圈中删去权值最大边，最后剩下的无圈联结图为最短主树。其步骤如下：

Q0：设G(k)是G的联结子图，G(0)=G；

Q1：若G(k)中包含圈，设m是G(k)中的一个圈，取m上的一条权最大的边e(k)，令G(k+1)=G(k)-e(k)；

Q2：若G(k)中不再含圈（即上述Q1步中的G(k+1)不再含圈），则它是最短主树，算法终止；否则，重复Q1。

 

评价：

1P（Prim）算法就是顺序取端（point），K算法就是顺序取边（edge），注意都不能成圈

2边数较多就用P算法，端数较多就用K算法

3走在行业的前面真好，这些东西真的简单，可是发现的人却能以他们明名