环的同态与同构
同态映射
定义：设R和是两个环,是到的一个映射,若,有
1.
2.
则称为同态映射
注：等式左边的加法和乘法是R中的运算,灯饰右边的加法和乘法是中的运算
若到的同态映射是一个满射,则称是到的满同态
若到的同态映射是单射,则称是到的单同态,或称为一个嵌入
此时称R同构嵌入到中
若同构嵌入到中,就把R看作的一部分
若到的同态映射既是满射又是单射,则称是到的一个同构映射
若存在一个从到的同构映射,则称R与是同构的,记作
可将同构的环当作同一个环
注：设是环到的一个同态映射,则是加群到加群的一个同态映射
,有
又可保持和的乘法运算,故
例：
1.令,,则是一个从整数环Z到同余类环的一个满射,且,有
故
2.设A是任一环,是A的子环,,令,则是B到A的一个单同态映射
3.设为实数域R上的多项式环,,,由带余除法,,使,其中为的常数项
,故
令,则为一个双射,且
即是R到的同构映射,
定理：设和是两个含幺环,设是环同态映射,则
1.若是满射,则,且对R中任意可逆元u,是的可逆元,
2.若是一个除环,且,则
3.若是一个整环,且,则
证明：
定理：设是环R到环的满同态映射,则
1.若S是R的子环,则也是的子环
2.若是的理想,则也是的理想
3.若是的子环,则的逆像也是的子环
4.若是的理想,则的逆像也是的理想
注：
1.定理表明环的同态满射保持子环和理想的性质不变,即子环和理想的同态仍是子环和理想,而子环和理想的原像也是子环和理想
2.满射条件在定理2和4中不可少
例：设是整数环Z到实数环R的映射,,则是同态映射,Z是Z的理想,但不是R的理想
定理：设I是环R的理想,是R关于I的商环,则R与同态
证明：
注：上述同态映射称为R到的自然同态(典范同态)
环同态基本定理
定理：假定R和是两个环,是到的满同态映射,则同态的核是R的理想,且
证明：
注：
1.R的任一同态像在同构的意义下都是R的一个商环
2.理想在环中的地位与正规子群在群中的地位是平行的
例：
1.设,其中的加法和乘法定义为：,,则关于加法和乘法作成一个环
设,则是一个满同态映射,同态的核
由同态基本定理,
2.设是环R到的满同态,是的一个理想,I为的原像,即,则
设为到的自然同态,则,
是到的满同态,由于
即,由同态基本定理,
环第一同构定理
定理：设和为环R的理想,则,也是R的理想,且
证明：
极大理想
定义：设M是环R的理想,,若对环R的任意理想I,,且,总有,则称M是R的极大理想
例：R为整数环,设p为素数,则为极大理想
,故,又若是Z中的理想,,则,故,则使
由,,由,,故,因而
显然,因而I=Z,故为Z的极大理想
注：设p为素数,为Z的极大理想,是域,这个结论可推广到一般的含幺交换环上
定理：设R是含幺交换环,则M为R的极大理想R/M为域
证明：