线性DP

线性DP

#1.LIS问题（最长上升子序列）

F[i] F [ i ] 表示以 A[i] A [ i ] 为结尾的“最长上升子序列”的长度
状态转移方程：

F[i]=max0<=j<i,a[j]<a[i](F[j]+1) F [ i ] = max 0 <= j < i , a [ j ] < a [ i ] ( F [ j ] + 1 )

#2.LCS问题（最长公共子序列）

F[i][j] F [ i ] [ j ] 表示前缀子串 A[1到i] A [ 1 到 i ] 与 B[1到j] B [ 1 到 j ] 的“最长公共子序列”的长度
状态转移方程：
F[i][j]=max(F[i−1][j]或F[i][j−1]或F[i−1][j−1]+1(ifA[i]=B[j])) F [ i ] [ j ] = m a x ( F [ i − 1 ] [ j ] 或 F [ i ] [ j − 1 ] 或 F [ i − 1 ] [ j − 1 ] + 1 ( i f A [ i ] = B [ j ] ) )

#3.数字三角形

F[i][j] F [ i ] [ j ] 表示从左上角走到第i行第j列，和最大是多少
状态转移方程：
F[i][j]=A[i][j]+max(F[i−1][j]或F[i−1][j−1](ifj>1)) F [ i ] [ j ] = A [ i ] [ j ] + m a x ( F [ i − 1 ] [ j ] 或 F [ i − 1 ] [ j − 1 ] ( i f j > 1 ) )

CODE

#include
using namespace std;
int n,a[1010][1010];
inline int read()
{
    int num=0,flag=1;
    char c=getchar();
    for (;c<'0'||c>'9';c=getchar())
    if (c=='-') flag=-1;
    for (;c>='0'&&c<='9';c=getchar())
    num=(num<<3)+(num<<1)+c-48;
    return num*flag;
}
void init()
{
    n=read();
    for (int i=1;i<=n;++i)
    for (int j=1;j<=i;++j)
    a[i][j]=read();
}
void dp()
{
    for (int i=n-1;i>=1;--i)
    for (int j=1;j<=i;++j)
    a[i][j]+=max(a[i+1][j],a[i+1][j+1]);
    printf("%d\n",a[1][1]);
}
int main()
{
    init();
    dp();
    return 0;
}

#4.LCIS问题（最长公共上升子序列）

F[i][j] F [ i ] [ j ] 表示 A1到Aj A 1 到 A j 与 B1到Bj B 1 到 B j 可以构成的以 Bj B j 为结尾的LCIS的长度
对于“决策集合中的元素只增多不减少”的情景，就可以维护一个变量来记录决策集合的当前消息，只需要两重循环即可求解。

CODE

for (int i=1;i<=n;++i)
{
    int val=0;//val是决策集合S(i,j)中f[i-1][k]的最大值 
    for (int j=1;j<=m;++j)
    {
        //原来的k循环+判断+状态转移 
        if (a[i]==b[j]) f[i][j]=val+1;
        else f[i][j]=f[i-1][j];
        if (b[j]max(val,f[i-1][j]);
        //j即将增大为j+1,检查j能否进入新的决策集合 
    }
}