现代数字通信第八章——阵列信号处理与空域滤波

主要内容：

• 阵列信号模型
• 空间谱估计
• 空域滤波

一、阵列接收信号模型

1、均匀线阵

\quad K个窄带信号分别从${\theta }_1,{\theta }_2,\cdots ,{\theta }_k$方向，入射到间隔为d的均匀线阵，则接收到的信号向量为$$x(n)=As(n)+v(n)$$

• 第k个信源的方向向量为$\alpha ({\theta }_k)=[1,e^{-j{\varphi }_k},\cdots ,e^{-j(M-1){\varphi }_k}]$
• ${\varphi }_k=2\pi dsin{\theta }_k/\lambda ,\lambda 为波长,\lambda =c/f_0$

2、任意阵列

3、均匀矩形阵

4、均匀圆阵

二、空间谱估计与DOA估计

\quad 单个阵元的接收信号为$$\begin{gathered} x(m)=s_1(n)s^{-jm{\varphi }_1} \\ X(\varphi )={\sum }_{m=0}^{M-1}{x}_m(n)e^{jm\varphi } \end{gathered}$$。$|X(\varphi ){|}^2=|s_1(n){|}^2|\frac{sin(\frac{M}{2}(\varphi -{\varphi }_1))}{sin(\frac{1}{2}(\varphi -{\varphi }_1))}{|}^2$为空间谱，$\varphi ={\varphi }_1$取极大值时，信源方向可根据${\varphi }_1=2\pi dsin{\theta }_1/\lambda$确定。空间谱角度估计的分辨性能由阵列孔径$Md$决定，孔径越大，分辨率越高。空间谱角度估计又被称为DOA估计。

三、基于music算法的DOA估计

\quad 信源在空间角度较靠近时，空间傅氏变换法不能将两信源分辨开，可对比功率谱估计思想用其它 算法进行DOA估计，称为超分辨率估计。
算法步骤

• 1.利用阵列接收的N次快拍数据，由$\hat{R}=\frac{1}{N}{\sum }_{n=1}^{N}x(n)x^H(n)$确定信号的空间相关矩阵$\hat{R}$
• 2.对$\hat{R}$进行特征值分解，得到$\hat{G}$
• 3.确定$P_{MUSIC}(\theta =\frac{1}{{\alpha }^H(\theta )\hat{G}{\hat{G}}^H\alpha (\theta )}$的峰值位置，得到波到达的方向$\{\widehat{{\theta }_k}{\}}_{k=1}^K$

MUSIC方法适用于任何不存在有相位模糊的阵列结构。

四、信号DOA估计的ESPRIT算法

\quad ESPRIT算法是在对阵列接收数据的相关矩阵进行特征值分解后，利用了空间相关矩阵信号的旋转不变特性进行角度分辨，无需谱峰搜索。

五、空域滤波

• 权向量$w$，导向矢量$\alpha (\theta )=[1,e^{-j\varphi ,\cdots ,e^{-j(M-1)\varphi }}{]}^T$
• 阵列接收信号$x(n)=\alpha (\theta )s(n)$
• 空域滤波器输出$y(n)=w^H(n)x(n)=w^H\alpha (\theta )s(n)$
• 取适当的$w满足可以使得y(n)=0，也可以使得y(n)=Ms(n)$
• 改变空域滤波器的$w$，可使某些方向的信号通过滤波器，而抑制另一些方向的信号，这就是 空域滤波。
• 空域滤波的方向图$F(\theta )=\frac{|y(n)|}{|s(n)|}=|w^H\alpha (\theta )|$，若令$w=[1,e^{-j{\varphi }_k},\cdots ,e^{-j(M-1){\varphi }_k}{]}^T$，其中${\varphi }_k=2\pi dsin{\theta }_k/\lambda$，则波束图在$\theta ={\theta }_0$处取得最大值，因此改变${\varphi }_0或{\theta }_0$即可改变波束方向，这就是相控阵的工作原理

波束主瓣宽度

\quad 主瓣的半功率宽度（也成为3dB宽度${\Delta }_{0.5}$）为$${\Delta }_{0.5}=\frac{0.886}{Mcos{\theta }_0}\frac{\lambda }{d}(rad)=\frac{50.8}{Mcos{\theta }_0}\frac{\lambda }{d}(°)$$
\quad 可见随着阵元数的增加，波束宽度变窄，分辨力提高。

副瓣

\quad 对于归一化方向图，副瓣电平为$$\frac{1}{\frac{2|l|+1}{2}\pi }$$
最大副瓣电平为$\frac{2}{3\pi }=-13.4dB$，对阵列进行加窗处理可以降低旁瓣。

栅瓣

\quad 栅瓣为在某个方向与主瓣电平相同，为避免这种情况，阵元间距应满足$d\le \frac{\lambda }{1+|sin{\theta }_0|}$

六、数字自适应干扰置零

\quad 数字自适应干扰置零是自适应地选择滤波器权重$w$，使得在强干扰$s_1(n)$方向${\theta }_1$处形成零点，称为干扰置零，即满足$$w^H\alpha ({\theta }_1)=0$$

\quad M阵元地均匀线阵可以同时形成地零点个数的最大值为$M-1$。

七、基于MVDR算法的DBF原理

1、MVDR波束形成器原理

\quad MVDR波束形成器选择空域滤波器权向量$w$使${\theta }_0$方向的期望信号 $s_0(n)$无失真的通过空域滤波器，而对其他方向的信号和噪声尽量抑制，即$$\begin{gathered} mi{n}_w{w}^{H}Rw,st.w^H\alpha ({\theta }_0)=1 \\ J(w)=w^{H}Rw+\lambda (1-w^H\alpha ({\theta }_0)) \\ 最优权向量w_0=\frac{R^{-1}\alpha ({\theta }_0)}{{\alpha }^H({\theta }_0)R^{-1}\alpha ({\theta }_0)} \\ 输出平均功率(方向图)P_{MVDR}(\theta )=\frac{1}{{\alpha }^H({\theta }_0)R^{-1}\alpha ({\theta }_0)} \end{gathered}$$

2、QR分解的SMI算法

\quad 利用阵列接受向量$x(1),x(2),\cdots ,x(n)$，定义数据矩阵

3、LCMV波束形成器

\quad 线性约束最小方差(LCMA)波束形成器是MVDR波束形成器的推广，有多个约束条件$C^{H}w=f,C是约束矩阵，f是对应的约束响应向量$，此时$$\begin{gathered} mi{n}_w{w}^{H}Rw,st.C^{H}w=f \\ J(w)=w^{H}Rw+\lambda (1-C^{H}w) \\ 最优权向量w_{LCMV}=R^{-1}C(C^H{R}^{-1}C{)}^{-1}f \\ 输出平均功率(方向图)P_{LCMV}=f^H(C^H{R}^{-1}C{)}^{-1}f \end{gathered}$$