近世代数课后习题作业 1

(Z,+)，整数集上的加法运算，有一个单位元素0

模n同余等价类，符合题意，单位元是[0]

注意半群中满足的结合律的性质！！！半群就是代数系加上结合律！！！
a。b。x这么写的话不知道运算顺序！！！得加上括号才行！！！
思路：（b。x） = （b。y）的时候x=y是成立的，所以在外面套上一个a也是成立的a。（b。x） = a。（b。y）
所以包括号换一下位置（a。b）。x = （a。b）。y
又因为此时x=y，所以题意成立

下面的证明也是这个意思


（1）问的是幺半群，看到幺半群就想想幺半群都有什么性质，
首先得是一个半群，加上一个单位元
半群又得首先是一个代数系，加上结合律
所以应该满足：1.代数系，2.单位元，3.结合律，

（2）直接根据第三问给的性质来做就可以了

把上面倒数第二行中的（y2-z2）带入到倒数第一行中就可以了，基本的高中两个表达式削元的方法。。。找相同的东西，然后带入，整理
最后推倒出来的y1和z1之间的关系就是需要的了

（3）换一下位置显然成立

第一个=>对应的表达式就是错的。。。
解题过程说第一个=>处推到不出来就行。。。

第6题！！！

思路：在证明的时候抓住一个元素！！！
b列出来b的1次到b的n+1此，因为集合元素个数为n所以当中一定有重复的元素
设两个重复元素之间次数的差异为k
p=qk是我们假设的，目的是最终构造出来下面这个式子

需要达到上面这个表达式就需要在下面这个表达式的基础上不断地递归调用

最后就构造成功啦！！！


（1）封闭性和结合律都是显然成立的，对于带属性的非空和不能一对多都是因为继承了父类所以显然成立的
（2）细心点！！！，题目中说的是（M，）是一个幺半群，所以只要m是（M，）中对应的单位元就根据定义显然成立了。再说明一下m为（M，）中的单位元的时候可以满足幺半群的各种性质就好啦！




代数系显然，
结合律显然，
单位元为 Φ
逆元素是本身！！！ 逆元素是本身的情况也可以应用于群的判定中逆元素的判定！！！