图论总结 下

王也州老师是我非常钦佩的一位老师，他的言行举止，治学态度无不深刻影响着我，高山仰止，景行景止，谨以此文献给我的老师。

第五章 匹配

导语

本博客全部参考于UESTC数学学院王也州老师讲义复习而得，如有转载请保留此句！

1.1 图和简单图

     如果G的每个顶点均为M饱和点，则称M为G的完美匹配。

     如果M是图G的包含边数最多的匹配，则称M为G的最大匹配。

     Berge定理： 图G的匹配M是最大匹配当且仅当G不含M可扩路。

     Hall定理： 设G为具有二分类(X, Y)的偶图，则G包含饱和X的每个顶点的匹配当且仅当|N(S)| ≥ |S|，对所有S 属于 X 成立。

     Tutte定理：偶数阶图G有完美匹配当且仅当o(G-S)≤|S|，对所有S属于V成立。

     G的一个因子分解是指将G分解为若干个边不重的因子之并。

     1-因子分解

     若G有一个1-因子(其边集为完美匹配)，则显然G的阶数是偶数。所以， 奇数阶图不能有1-因子。

     2-因子分解

     若一个图2-可因子化，则每个2-因子是边不重圈的并。

     最优匹配与匈牙利算法

     图论模型：以工人和工作为点，当且仅当xi能胜任工作yj 时则连线，得偶图G。于是一种符合要求的安排对应G中一个完美匹配。此问题实际上是求偶图的完美匹配问题。

     匈牙利算法

     算法思想：先任取一个匹配M，然后寻找M可扩路。若不存在M可扩路，则M为最大匹配；若存在，则将可扩路中M与非M的边互换，得到一个比M多一条边的匹配M′，再对M′ 重复上面过程。

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第六章 平面图

     定理 (Euler公式) 设G是具有n个点，m 条边，φ个面的连通平面图，则有n–m+φ=2。

     极大平面图的三角形特征：即每个面的边界是三角形，内部三角形，外部三角形。

     极大平面图满足：m=3n–6；φ=2n–4。

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     极大外平面图的特征：外部面的边界是由多边形组成，内部面均由三角形围成。

     对偶图：七色问题采用该方法进行转换。

     图G和其对偶图满足一一对应关系：点—面 边—边 自环—割边

     设G*是平面图G的对偶图，则G*必连通。

     平面算算法：Demoucron，Malgrange与Pertuiset

第七章 图的着色

     排课表问题：设有m位教师，n个班级，其中教师xi要给班级yj上 pij节课。求如何在最少节次排完所有课。

     图论模型：令X={x1, x2,…, xm}， Y={y1, y2,…, yn}，xi与yj间连pij条边，得偶图G=(X, Y)。于是，问题转化为如何在G中将边集E划分为互不相交的p个匹配，且使得p最小。

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     边色数：设G是图，对G进行正常边着色需要的最少颜色数称为G的边色数，记为：χ′(G)。

     König定理：若G是偶图，则χ′=Δ。

     Vizing定理： 若G是简单图，则χ′=Δ或χ′=Δ+1。

     应用：若干个老师给班级上课问题；比赛安排问题。

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     点色数：对图G正常顶点着色需要的最少颜色数，称为图G的点色数，简称色数。图G的色数用χ(G)表示。

     对任意的无环图G，均有χ ≤Δ+1。

     Brooks定理：设G是简单连通图。假定G既不是完全图又不是奇圈，则χ ≤ Δ。

     Heawood定理：对任意的简单平面图，均有χ ≤5

     应用：学生选课冲突问题；动物围栏问题；交通灯相位问题。

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     色多项式：所谓着色的计数，就是给定标定图G和颜色数k，求出正常顶点着色的方式数，并用Pk(G)表示。

     递推计数法：Pk(G)=Pk(G-e)-Pk(G● e)。

     理想子图法：先求出G的补图的伴随多项式，再将多项式中的xi换为[k]i便能得到简单图G的色多项式Pk(G)。

第八章 Ramsey定理与有向图

     Gallia定理： 对任意的n阶图G，有α(G)+β(G)=n。即点独立数与点覆盖数的和为顶点数

     Gallia定理： 对任意不含孤立点的n阶图G，有α’(G)+β’(G)=n。即边独立数与边覆盖数的和为顶点数

     偶图G中最大独立集包含的顶点数等于最小边覆盖包含的边数。

     定义 设D=(V, E)为一个有向图，

1. 若对任意u, v∈V，u与v可互达，则称D是强连通的。
2. 若对任意u, v∈V，或u→v，或v→u，则称D是单向连通的。
3. 若D的基础图是连通的，则称D是弱连通的，简称连通。

     根树T中，若每个分支点至多有m个儿子，则称T为m元树；若每个分支点恰有m个儿子，则称T为m元完全树。

     最优二元树的Huffman算法