Graph Theory 离散数学第六章

写这个时的感想

第二篇了
这几天简直是天天都在考试
马原
大物
选专业
离散
明天就是图论考试
加油

基于老师的ppt和清华大学出版社的《离散数学（第五版）》

第六章 特殊的图

6.1 二部图（偶图）

• 什么是二部图（偶图）
  将顶点集分为两个不相交的子集V₁和V₂（这两个子集被称为是互补顶点子集），使得边集中的任何一条边的两个端点分别属于V₁和V₂
• 是二部图的充要条件
  当且仅当无向图G中没有长度为奇数的回路
• 匹配：是边集的子集，且其中任意两条边不相邻的M集合
  • 极大匹配：再加入任何一条边便不再是匹配的M
  • 最大匹配：边数最多的匹配
    匹配数：最大匹配中的边的条数
  • 完美匹配：每个顶点都是饱和点的M
    饱和点：与匹配中的边关联的点（如果不关联就是非饱和点）
  • 完备匹配：若V₁与V₂中较小的一个集合（假定是V₁）中的点被最大匹配的边全部关联，那么M就是G中V₁到V₂的完备匹配
    • 此时，若当V₁中点的数量等于V₂中点的数量，那么这个完备匹配就是完美匹配
• Hall定理（存在完备匹配的充分必要条件）
  • 内容：
    设二部图G=1,V₂,E>，|V₁|<=|V₂|，
    当且仅当V₁中任意k个顶点至少邻接V₂中的k个顶点时，
    （加粗部分也被称作为相异性条件）
    G中存在从V₁到V₂的完备匹配.
  • Hall定理的推论：
    内容：设二部图G=1,V₂,E>，如果存在t>0使得：
    （1）V₁中的每个顶点至少关联t条边；
    （2）V₂中的每个顶点至少关联t条边；
    （加粗部分被称为t条件）
    则G中存在从V₁到V₂的完备匹配
• 应用：选出不兼任的组长

6.2 欧拉图

• 什么是欧拉图
  存在欧拉回路的图叫做欧拉图
  • 欧拉回路（通路）：经过有向图/无向图中每条边一次且仅一次并行遍图中每个定点的回路（通路）
• 存在欧拉回路的充要条件
  • 无向图中：当且仅当G是连通图且无奇度定点
  • 有向图中：当且仅当G是连通的且每个顶点的入度等于出度
• 有欧拉通路而无欧拉回路的充要条件
  • 无向图中：当且仅当G是连通图且恰好有两个奇度顶点
  • 有向图中：
    当且仅当D是连通的；
    且除了两个顶点外，其余顶点入度均等于出度；
    而这两个顶点中，有一个顶点的入度=出度+1（终点），另一个顶点的出度=入度+1（起点）；
• 本部分内容的应用 磁鼓
  （以两位数字为前缀码，作为顶点）

6.3 哈密顿图

• 什么是哈密顿图
  • 存在哈密顿回路的图
  • 哈密顿回路（通路）：经过图中每个顶点一次且仅一次的回路（通路）
• 如果一个图是哈密顿图那么：
  • 边数>点数
  • p（G-V₁）<=|V₁|
  • p（G-V₁）<=|V₁|+1
• 无向图G是哈密顿图的充分条件
  设G是n（n>=3）阶无向简单图；
  G中任何一对不相邻的顶点的度数之和都>=n；
• 有向图D有哈密顿通路的充分条件
  n（n>=2）阶有向图D；
  D的基图含有生成子图K_n；
• 本部分内容的应用
  • 竞赛图
    比赛安排流程（任意两个队比赛一次，没有平局，用有向图描述比赛的结果）
  • 格雷码
    确定圆盘停止旋转的位置
    （一组n位数，相邻的两个一级最后一个和第一个之间只有一位不同）

6.4 平面图

• 什么是平面图
  能画在平面上使得除顶点处外没有边交叉出现的图
  平面嵌入：画出的这种不出现边交叉的图

• 面
  整个平面被G的边划分出的若干个区域

  • 外部面/无限面：面积无限的区域
  • 内部面/有限面：面积有限的区域
  • 边界：包围面R的所有便构成的回路
  • 次数：边界的长度

  平面图的所有面的次数之和=边数*2

• 极大平面图
  G是一个简单平面图；
  G中任意两个不相邻的顶点之间再加一条边，所得图为非平面图时，
  那么G是极大平面图

  • 判断G_n（n>=3）阶平面图是不是极大平面图：
    G是连通的
    每个面的次数都是3

  • 极小平面图
    G是个非平面图；
    G中任意删除一条边，所得图为平面图时；
    那么G是极小非平面图

  • 欧拉公式

    • 内容：设G为任意的连通平面图，有：顶点数-边数+面数=2
    • 推广：设G为有p个连通分支的平面图，有：顶点数-边数+面数=连通分支数+1（p>=2）

  • 如果G是连通的平面图且每个面的次数至少为l（l>=3）
    有： m<=l/（l-2）*（n-2）

  • 如果G是p（p>=2）个连通分支的平面图且每个面的次数至少为l（l>=3）
    有：m<=l/(l-2)(n-p-1)

• 收缩：

• 收缩边：

• 库拉图斯基定理

  • 内容：一个图是平面图，当且仅当他没有可收缩到K₅的子图，也没有可收缩到K_3,3的子图

• 是平面图的充分条件

• 是平面图的必要条件

• （面）着色

• 对偶图：每一个面对应一个点，而原先的图中的边就作为新定义下的点的连接的线

• 四色定理：任何平面图都是4-可着色的

• 本部分内容的应用：地图