偏微分方程 基础知识（线性偏微分方程+常系数线性偏微分方程） | 偏微分方程（一）

偏微分方程：指含有多元未知函数$u=u(x),x=(x_1,x_2,...,X_n)$及其若干阶偏导数的关系式
$$F(\mathbf{x},u,\frac{\partial u}{\partial x_1},\frac{\partial u}{\partial x_2},...,\frac{\partial u}{\partial x_n},...,\frac{{\partial }^{m}u}{\partial x_1^{m_1}\partial x_2^{m_2}...\partial x_n^{m_n}})=0$$
其中，最高阶导数的阶数$m=m_1+m_1+...+m_n$为方程的阶。

线性偏微分方程：偏微分方程中与未知函数有关的部分是$u$及$u$的偏导数的线性组合（系数与$u$或$u$的偏导数无关）。

常系数线性微分方程：方程中u和u的偏导数的系数是常数

意义：偏微分方程反映了变量u及多个自变量$\mathbf{x}=(x_1,x_2,...,x_n)$间的相互制约关系。

数学物理方程：从物理问题中导出的偏微分方程称为数学物理中的偏微分方程。有时还包括常微分方程和积分方程。

偏微分方程的定解问题：泛定方程+定解条件

• 泛定方程

1. 波动方程 ：$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=a^2\Delta u+f(t,x),a=\sqrt{\frac{T}{\rho }},f(t,x)=\frac{g(t,x)}{\rho }$

2. 扩散方程：$\frac{\partial u}{\partial t}=a^2\Delta u+f(t,x),a=\sqrt{\frac{\kappa }{c\rho }},f(t,x)=\frac{g(t,x)}{c\rho }$

3. 场位方程：$\Delta u=-f(x)\mathbf{x}=(x_1,x_2,...,x_n),n=1,2,3$

• 定解条件

1. 初始条件（历史情况的影响）

2. 边界条件（周围环境对边界的影响）

   第I类边界条件（给顶端点值）：$u{|}_{x=x_i}={\mu }_i(t)$

   第II类边界条件（给定端点梯度）：$\frac{\partial u}{\partial n}{|}_{x=x_i}=f_i(t)$

   第III类边界条件（混合I&II）：$[a_{i}u+{\beta }_i\frac{\partial u}{\partial n}{]}_{x=x_i}=F_i(t)$

3. 衔接条件（系统内部边界）

实际应用：找出泛定方程+定解条件，然后利用多种方法解偏微分方程