P1082 同余方程 扩展欧几里德算法 C++

题目描述

求关于x xx的同余方程 ax≡1(modb) a x \equiv 1 \pmod {b}ax≡1(modb) 的最小正整数解。
输入格式

一行，包含两个正整数 a，b，用一个空格隔开。
输出格式

一个正整数 x0，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。
输入输出样例
输入 #1

3 10

输出 #1

7

说明/提示

【数据范围】

对于 40%的数据，2≤b≤1,0002 ≤b≤ 1,0002≤b≤1,000；

对于 60%的数据，2≤b≤50,000,0002 ≤b≤ 50,000,0002≤b≤50,000,000；

对于 100%的数据，2≤a,b≤2,000,000,0002 ≤a, b≤ 2,000,000,0002≤a,b≤2,000,000,000。

NOIP 2012 提高组 第二天 第一题

思路

说白了是一组 a,b。目标是求出满足 ax+by=gcd(a,b)（称式子α）
我们得知道公式,①gcd（a，b）=ax+by 和 普通欧几里得公式②gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)。
题目给我们了a和b让我们求x。y是一个辅助元
先把②带入①得 gcd(b,a mod b)=ax+by 即 ax+by=gcd(a,a mod b)
为了求x和y,我们又设x2和y2,那么根据①式必满足 ④bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b)

又有①知gcd(a,b)=gcd(b,a mod b),带入④ 得⑤bx2+(a mod b)y2=gcd(a,b)跟α相比较
--------------------------------------------------------------ax + by =gcd(a,b) 不难看出系数之间的变化，
有是一个新的子问题，求满足⑤x的最小解

引入一个新的式子⑥ a mod b =a-b*(a/b) //在c++里整数的除"/"会向下取整 如3/2=1

将⑥带入⑤:
bx2+(a-b*(a/b))y2=gcd(a,b) 因为由①知 gcd(a,b)=ax+by
代入
bx2+(a-b*(a/b))y2=ax+by 说以你现在知道为什么要设x2和y2
化简
bx2+ay2-b*(a/b)*y2=ax+by

移项
bx2-b*(a/b)*y2+ay2=ax+by

ay2+b(x2-y2*(a/b))=ax+by
现在已经非常明显了!!!
系数都相同为a和b,明显得出
x=y2 y=x2-y2*(a/b)

a和b已经知道
我们只要知道x2和y2就能求出x和y
那如何知道x2和y2?

同求x和y的方法一样，设x3和y3,又x2=y3 y2=x2+y3*(a/b)
求x3和y3???
方法同上

这样递归的框架渐渐出现,只需要知道一个出口条件就能写出代码了
我们只需要一组 xn,yn满足 an 乘 xn+bn 乘 yn=gcd(an,bn)
如果b减得为零了 那就无法再往下展开 x也就等于=1 y=0
这一步还是看代码理解吧

#include
using namespace std;
long long x,y;
void gcd(long long a,long long b){
	if(b==0){//无法拓展
		x=1;//唯一能满足条件的也只有1
		y=0;
		return ;
	}
	gcd(b,a%b);//自己看上面的公式
	long long tx=x;//拷贝一下
	x=y;//自己看上面的公式
	y=tx-a/b*y;
}
int main(){
	long long a,b;
	cin>>a>>b;
	gcd(a,b);
	while(x<0){//当x为负数时
		x+=b;//x可能在减的时候为负数,依次+b最后mod 一定是最小的
	}
	x%=b;
	cout<<x;
	return 0;
}