匈牙利算法——最大匹配问题详解(附模板题)

基本概念转自  https://blog.csdn.net/dengheCSDN/article/details/77619308

匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

  先了解一些概念性的东西吧。

 1.二分图
  设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。一个二分图的例子：

                        
  2.最大匹配&完美匹配
  在图论中，一个“匹配”（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。
  最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。
  完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。
  3.交替路&增广路
  交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边...形成的路径叫交替路。
  增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路。
  注意：把增广路径上的所有第奇数条边加入到原匹配中去，并把增广路径中的所有第偶数条边从原匹配中删除（这个操作称为增广路径的取反），则新的匹配数就比原匹配数增加了1个。
  4.思想与算法
  思想：看这么一个例子，把左边1，2，3，4和右边a,b,c,d来进行匹配
                                   
  一开始我们给1分配a,1和a之间连上红线表示建立匹配。
                          
  然后接着给2分配b,2和b连上红线表示匹配。
                       
  紧接着给3分配，这时候发现a,b已经都有所属了，我们尝试给1重新分配，把原来的分配拆掉，用蓝线表示。
                       
  但是很快我们发现1重新分配不了，b已经有所属，那么继续尝试给2重新分配，把原来的分配拆掉，用蓝线表示。2重新分配到c,用红线表示。
                       
  这个时候，1可以重新分配到b,用红线表示。
                        
  最后，3就可以分配到a,用红线表示。

                         
  对于4，由于c已经被分配，而且尝试给其他1，2，3重新分配无法实现，就此结束。基本原则就是在原有匹配基础上重新分配，看是否可以添加一个新的匹配。

  下面，以一个相亲的例子来具体说明一下（这个例子转载于http://blog.csdn.net/dark_scope/article/details/8880547）

  通过数代人的努力，你终于赶上了剩男剩女的大潮，假设你是一位光荣的新世纪媒人，在你的手上有N个剩男，M个剩女，每个人都可能对多名异性有好感（-_-||暂时不考虑特殊的性取向），如果一对男女互有好感，那么你就可以把这一对撮合在一起，现在让我们无视掉所有的单相思（好忧伤的感觉），你拥有的大概就是下面这样一张关系图，每一条连线都表示互有好感。

                      
  本着救人一命，胜造七级浮屠的原则，你想要尽可能地撮合更多的情侣，匈牙利算法的工作模式会教你这样做：

===============================================================================

一： 先试着给1号男生找妹子，发现第一个和他相连的1号女生还名花无主，got it，连上一条蓝线

                  

===============================================================================

二：接着给2号男生找妹子，发现第一个和他相连的2号女生名花无主，got it

                  

===============================================================================

三：接下来是3号男生，很遗憾1号女生已经有主了，怎么办呢？

我们试着给之前1号女生匹配的男生（也就是1号男生）另外分配一个妹子。

(黄色表示这条边被临时拆掉)

                    

  与1号男生相连的第二个女生是2号女生，但是2号女生也有主了，怎么办呢？我们再试着给2号女生的原配()重新找个妹子(注意这个步骤和上面是一样的，这是一个递归的过程)

                        

此时发现2号男生还能找到3号女生，那么之前的问题迎刃而解了，回溯回去

2号男生可以找3号妹子~~~                  1号男生可以找2号妹子了~~~                3号男生可以找1号妹子

    

所以第三步最后的结果就是：

                      

===============================================================================

四： 接下来是4号男生，很遗憾，按照第三步的节奏我们没法给4号男生腾出来一个妹子，我们实在是无能为力了……香吉士同学走好。

===============================================================================

这就是匈牙利算法的流程，其中找妹子是个递归的过程，最最关键的字就是“腾”字
其原则大概是：有机会上，没机会创造机会也要上
 

bool find(int x){  
    int i,j;  
    for (j=1;j<=m;j++){    //扫描每个妹子  
        if (line[x][j]==true && used[j]==false)        
        //如果有暧昧并且还没有标记过(这里标记的意思是这次查找曾试图改变过该妹子的归属问题，但是没有成功，所以就不用瞎费工夫了）  
        {  
            used[j]=1;  
            if (girl[j]==0 || find(girl[j])) {   
                //名花无主或者能腾出个位置来，这里使用递归  
                girl[j]=x;  
                return true;  
            }  
        }  
    }  
    return false;  
}  

在主程序我们这样做：每一步相当于我们上面描述的一二三四中的一步

for (i=1;i<=n;i++)  
{  
    memset(used,0,sizeof(used));    //这个在每一步中清空  
    if find(i) all+=1;  
}  

 

以下附两个模板题：52nod 2006

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int MAXN = 510;
int mapp[110][110];
int n,m;
int g[110];
int vis[110];
int findd(int x)
{
    int i;
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        if(mapp[x][i]==1&&vis[i]==0)
        {
            vis[i]=1;
            if(g[i]==-1||findd(g[i]))
            {
                g[i]=x;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int main()
{
    int x,y,i,j;
    cin>>m>>n;
    memset(mapp,0,sizeof(mapp));
    while(cin>>x>>y)
    {
        if(x==-1&&y==-1)
            break;
        mapp[x][y-m]=1;
    }
    n-=m;
    int ans=0;
    memset(g,-1,sizeof(g));
    for (i=1;i<=m;i++)
    {
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        if(findd(i))
            ans++;
    }
    if(ans==0)
        cout<<"No Solution!"<

HDU1083

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int MAXN = 510;
int mapp[310][310];
int n,m,p;
int g[310];
int vis[310];
int findd(int x)
{
    int i;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        if(mapp[x][i]==1&&vis[i]==0)
        {
            vis[i]=1;
            if(g[i]==-1||findd(g[i]))
            {
                g[i]=x;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int main()
{
    int T,x,y,i,j;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>p>>n;
        memset(mapp,0,sizeof(mapp));
        for(i=1;i<=p;i++)
        {
            cin>>x;
            for(j=1;j<=x;j++)
            {
                cin>>y;
                mapp[i][y]=1;
            }
        }
        int ans=0;
        memset(g,-1,sizeof(g));
        for (i=1;i<=p;i++)
        {
            memset(vis,0,sizeof(vis));
            if(findd(i))
                ans++;
        }
        if(ans==p)
            cout<<"YES"<