抽象代数学习笔记（8）循环群

在讲子群的时候，我们提出了生成子群的概念 <S> ，特别的，如果 S={s}，有<S>=<s> 。根据这些，我们可以引出循环群的概念：

群 G 称为循环群，如果有 g∈G 使得 G=<g> 。

其实之间说过的旋转变换就可以以循环群的形式出现。比如：

g=[cos120−sin120sin120cos120]

这样 g,g2,g3 在矩阵乘法下构成群。
上面举的例子是一个有限群，应该不难发现，这种循环群的特点是，生成元素与通过幂运算（在乘法群）得到的元素可以构成群。
上面的例子还有个特点， g4=g,g3=e 。这是不少循环群的：

在循环群 G=<g> 中，如果有不同的整数 r,k 使得 gr=gk ，则存在整数 m 使得：
* gm=e
* 当 1≤i<j≤m,gi≠gj
* 若有整数t， gt=e ，则 m整除t
* <g>={e,g,g2,...,gm−1}

如果对于任意不同的 r,k,gr≠gk ，那么 <g> 是一个无限群。
现在，根据是否存在不同的整数 r,k 使得 gr=gk ，我们可以将循环群分为两类。而这两类循环群在结构上也具有各自的性质：

若存在不同的整数 r,k 使得 gr=gk ，那么 <g>={e,g,g2,...,gm−1} ，对任意的 1≤i<j≤m,gi≠gj 。
若对任意不同的整数 r,k 使得 gr≠gk ，那么 <g>={...,g−2,g−1,e,g,g2,...}

有时也将这两条性质成为循环群结构定理。
比如整数在加法下构成的群，就有第二条性质陈述中的那种结构，而整数加法群可以写成 <1> ，类似的例子还有很多，这儿就不一一举出了。
下篇博文的主题是阶数，它与有限循环群有些关系，大家可以考虑一下第一种循环群中 gm=e 这条性质。