洛谷P1868 饥饿的奶牛【DP】

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题目描述

有一条奶牛冲出了围栏，来到了一处圣地（对于奶牛来说），上面用牛语写着一段文字。
现用汉语翻译为：
有N个区间，每个区间x，y表示提供的x~y共y-x+1堆优质牧草。你可以选择任意区间但不能有重复的部分。
对于奶牛来说，自然是吃的越多越好，然而奶牛智商有限，现在请你帮助他。

输入格式：

第一行，N，如题
接下来N行，每行一个数x，y，如题

输出格式：

一个数，最多能吃到的牧草堆数

说明

1<=n<=150000
0<=x<=y<=3000000

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题目分析

先将所有草堆以右端点为第一关键字排序
$dp[i]$表示考虑前$i$堆草能获得的最大数量

那么有dp转移
$dp[i]=max(dp[i-1],R_i-L_i+1,max(dp[j]+R_i-L_i+1))(1<=j<i,R_j<L_i)$

显然$dp[i]$一定是不下降的
若不存在$j$满足$(1<=j<i,R_j<L_i)$，则$dp[i]=max(dp[i-1],R_i-L_i+1)$
也就是要么不选第$i$堆，要么只选第$i$堆

而如果存在这样的$j$
直接枚举$j$去更新是$O(n^2)$的，肯定T
但注意到$dp[i]$的不下降性
所以直接二分寻找满足$1<=j<i$且离$i$最近的$j$即可

---

#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

int read()
{
    int f=1,x=0;
    char ss=getchar();
    while(ss<'0'||ss>'9'){if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
    while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
    return f*x;
}

const int maxn=200010;
int n;
struct node{int ll,rr;}rem[maxn];
bool cmp(node a,node b){return a.rr==b.rr?a.ll<b.ll:a.rr<b.rr;}
int dp[maxn];

int find(int x)
{
    int ll=1,rr=x,mid,ans=-1;
    while(ll<rr)
    {
        mid=ll+rr>>1;
        if(rem[mid].rr<rem[x].ll) ans=mid,ll=mid+1;
        else rr=mid;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;++i)
    rem[i].ll=read(),rem[i].rr=read();
    sort(rem+1,rem+1+n,cmp);
    
    dp[1]=rem[1].rr-rem[1].ll+1;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        dp[i]=max(dp[i-1],rem[i].rr-rem[i].ll+1); 
        int j=find(i);
        if(j!=-1) dp[i]=max(dp[i],dp[j]+rem[i].rr-rem[i].ll+1);
    }
    printf("%d",dp[n]);
    return 0;
}