抽象代数学习笔记二《群:群的例子》

抽象代数学习笔记二《群:群的例子》

学习笔记参考:《近世代数初步》第2版 高等教育出版社——石生明编著
注:本篇笔记根据博主个人数学的掌握情况整理

课后习题
1、平面取定坐标系 O x y Oxy Oxy ,则平面仿射(点)变换 φ : ( x , y ) T ⟶ ( x ′ , y ′ ) T \varphi:(x,y)^T\longrightarrow (x',y')^T φ:(x,y)T(x,y)T (这里 T T T 表示矩阵的转置, ( x , y ) T (x,y)^T (x,y)T 是一列的矩阵,即列向量)可写为: { x ′ = a 11 x + a 12 y + b 1 y ′ = a 21 x + a 22 y + b 2 \left\{ \begin{array}{c}x'=a_{11}x+a_{12}y+b_1 \\ y'=a_{21}x+a_{22}y+b_2 \end{array}\right. {x=a11x+a12y+b1y=a21x+a22y+b2 其中行列式: ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ ≠ 0 \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{vmatrix} \neq 0 a11a21a12a22=0 证明平面上全体仿射变换对于变换的乘法成一个群,称为平面的仿射变换群
2、平面上取定直角坐标系 O x y Oxy Oxy ,任意平面正交(点)变换 φ : ( x , y ) T ⟶ ( x ′ , y ′ ) T \varphi:(x,y)^T\longrightarrow (x',y')^T φ:(x,y)T(x,y)T 可写为: { x ′ = a 11 x + a 12 y + b 1 y ′ = a 21 x + a 22 y + b 2 \left\{ \begin{array}{c}x'=a_{11}x+a_{12}y+b_1 \\ y'=a_{21}x+a_{22}y+b_2 \end{array}\right. {x=a11x+a12y+b1y=a21x+a22y+b2 其中矩阵: ( a 11 a 12 a 21 a 22 ) \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{pmatrix} (a11a21a12a22) 是正交矩阵。用这种表示式证明平面上全体正交变换对于变换的乘法成为一个群,它是平面的正交变换群
3、设 G G G 是一个幺半群。若 G G G 的每个元 a a a 有右逆元,即有 b ∈ G b\in G bG ,使 a b = e ab=e ab=e ,则 G G G 是一个群。
4、设 G G G 是一个群。若 ∀ \forall a , b ∈ G a,b \in G a,bG 皆有 ( a b ) 2 = a 2 b 2 (ab)^2=a^2b^2 (ab)2=a2b2 ,则 G G G 是交换群。
5、设 G G G 是非空的有限集合, G G G 上的乘法满足: ∀ \forall a , b , c ∈ G a,b,c \in G a,b,cG 有:
(1) ( a b ) c = a ( b c ) (ab)c=a(bc) (ab)c=a(bc)
(2) a b = a c ⇒ b = c ab=ac\Rightarrow b=c ab=acb=c
(3) a c = b c ⇒ a = b ac=bc\Rightarrow a=b ac=bca=b
G G G 是群。
6、证明任一个群 G G G 不能是两个不等于 G G G 的子群的并集。
7、令: ρ = ( 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 ) \rho=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix} ρ=(162534435261) σ = ( 1 2 3 4 5 6 2 3 1 5 6 4 ) \sigma=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 1 & 5 & 6 & 4 \\ \end{pmatrix} σ=(122331455664) τ = ( 1 2 3 4 5 6 6 2 1 3 5 4 ) \tau=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 2 & 1 & 3 & 5 & 4 \\ \end{pmatrix} τ=(162231435564) 计算 ρ σ \rho\sigma ρσ σ τ \sigma\tau στ τ ρ \tau\rho τρ σ − 1 \sigma^{-1} σ1 σ ρ σ − 1 \sigma\rho\sigma^{-1} σρσ1
8、设: σ = ( 1 2 ⋯ n σ ( 1 ) σ ( 2 ) ⋯ σ ( n ) ) \sigma=\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \\ \end{pmatrix} σ=(1σ(1)2σ(2)nσ(n)) τ = ( 1 2 ⋯ n τ ( 1 ) τ ( 2 ) ⋯ τ ( n ) ) \tau=\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ \tau(1) & \tau(2) & \cdots & \tau(n) \\ \end{pmatrix} τ=(1τ(1)2τ(2)nτ(n)) 问: σ = ( τ ( 1 ) τ ( 2 ) ⋯ τ ( n ) ? ? ⋯ ? ) \sigma=\begin{pmatrix} \tau(1) & \tau(2) & \cdots & \tau(n) \\ ? & ? & \cdots & ? \\ \end{pmatrix} σ=(τ(1)?τ(2)?τ(n)?) τ − 1 = ( ? ? ⋯ ? i 1 i 2 ⋯ i n ) \tau^{-1}=\begin{pmatrix} ? & ? & \cdots & ? \\ i_1 & i_2 & \cdots & i_n \\ \end{pmatrix} τ1=(?i1?i2?in) τ σ τ − 1 = ( σ ( 1 ) σ ( 2 ) ⋯ σ ( n ) ? ? ⋯ ? ) ( 1 2 ⋯ n σ ( 1 ) σ ( 2 ) ⋯ σ ( n ) ) ( ? ? ⋯ ? 1 2 ⋯ n ) = ? \tau\sigma\tau^{-1}=\begin{pmatrix} \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \\ ? & ? & \cdots & ? \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} ? & ? & \cdots & ? \\ 1 & 2 & \cdots & n \\ \end{pmatrix}=? τστ1=(σ(1)?σ(2)?σ(n)?)(1σ(1)2σ(2)nσ(n))(?1?2?n)=? 9、确定置换 σ = ( 1 2 ⋯ n − 1 n n n − 1 ⋯ 2 1 ) \sigma=\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n-1 & n \\ n & n-1 & \cdots & 2 & 1 \\ \end{pmatrix} σ=(1n2n1n12n1) 的奇偶性。
10、把 ( 1   4   7 ) ( 7   8   10 ) ( 3   10   9 ) ( 9   4   2 ) ( 3   5   6 ) (1\ 4\ 7)(7\ 8\ 10)(3\ 10\ 9)(9\ 4\ 2)(3\ 5\ 6) (1 4 7)(7 8 10)(3 10 9)(9 4 2)(3 5 6) 分解成不相交的轮换的乘积。

参考答案如下:

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