抽象代数学习笔记二《群：群的例子》

学习笔记参考：《近世代数初步》第2版 高等教育出版社——石生明编著
注：本篇笔记根据博主个人数学的掌握情况整理

课后习题
1、平面取定坐标系 $Oxy$ ，则平面仿射（点）变换 $\phi :(x,y{)}^T⟶(x^{\prime },y^{\prime }{)}^T$ （这里 $T$ 表示矩阵的转置，$(x,y{)}^T$ 是一列的矩阵，即列向量）可写为：$$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=a_{11}x+a_{12}y+b_1\\ y^{\prime }=a_{21}x+a_{22}y+b_2\end{array}$$ 其中行列式：$$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|\ne 0$$ 证明平面上全体仿射变换对于变换的乘法成一个群，称为平面的仿射变换群。
2、平面上取定直角坐标系 $Oxy$ ，任意平面正交（点）变换 $\phi :(x,y{)}^T⟶(x^{\prime },y^{\prime }{)}^T$ 可写为：$$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=a_{11}x+a_{12}y+b_1\\ y^{\prime }=a_{21}x+a_{22}y+b_2\end{array}$$ 其中矩阵：$$\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)$$ 是正交矩阵。用这种表示式证明平面上全体正交变换对于变换的乘法成为一个群，它是平面的正交变换群。
3、设 $G$ 是一个幺半群。若 $G$ 的每个元 $a$ 有右逆元，即有 $b\in G$ ，使 $ab=e$ ，则 $G$ 是一个群。
4、设 $G$ 是一个群。若 $\forall$ $a,b\in G$ 皆有 $(ab{)}^2=a^2{b}^2$ ，则 $G$ 是交换群。
5、设 $G$ 是非空的有限集合，$G$ 上的乘法满足：$\forall$ $a,b,c\in G$ 有：
（1）$(ab)c=a(bc)$
（2）$ab=ac\Rightarrow b=c$
（3）$ac=bc\Rightarrow a=b$
则 $G$ 是群。
6、证明任一个群 $G$ 不能是两个不等于 $G$ 的子群的并集。
7、令：$$\rho =\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 6& 5& 4& 3& 2& 1\end{array}\right)$$ $$\sigma =\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 2& 3& 1& 5& 6& 4\end{array}\right)$$ $$\tau =\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 6& 2& 1& 3& 5& 4\end{array}\right)$$ 计算 $\rho \sigma$，$\sigma \tau$，$\tau \rho$，${\sigma }^{-1}$，$\sigma \rho {\sigma }^{-1}$。
8、设：$$\sigma =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& \cdots & n\\ \sigma (1)& \sigma (2)& \cdots & \sigma (n)\end{array}\right)$$ $$\tau =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& \cdots & n\\ \tau (1)& \tau (2)& \cdots & \tau (n)\end{array}\right)$$ 问：$$\sigma =\left(\begin{array}{cccc}\tau (1)& \tau (2)& \cdots & \tau (n)\\ ?& ?& \cdots & ?\end{array}\right)$$ $${\tau }^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}?& ?& \cdots & ?\\ i_1& i_2& \cdots & i_n\end{array}\right)$$ $$\tau \sigma {\tau }^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}\sigma (1)& \sigma (2)& \cdots & \sigma (n)\\ ?& ?& \cdots & ?\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}1& 2& \cdots & n\\ \sigma (1)& \sigma (2)& \cdots & \sigma (n)\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}?& ?& \cdots & ?\\ 1& 2& \cdots & n\end{array}\right)=?$$ 9、确定置换$$\sigma =\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& \cdots & n-1& n\\ n& n-1& \cdots & 2& 1\end{array}\right)$$ 的奇偶性。
10、把 $(147)(7810)(3109)(942)(356)$ 分解成不相交的轮换的乘积。

参考答案如下：