美丽而巧妙的定理——莫利定理

内容

莫利定理（Morley’s theorem），也称为莫雷角三分线定理。将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相交得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。

上图！

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证明

如图 , 在任意 $△ABC$ 内部构造$△BDC$, 使 $\angle DBC=\angle B3,\angle DCB=\frac{\angle C}{3}$, 又作$△BDF$ , 使 $\angle DBF=\frac{\angle B}{3},\angle BDF=60°+\frac{\angle C}{3}$, 使$DF$ 交$BF$于$F$,作正 $△DFE$ , 则$\angle EDC=60°+\frac{\angle B}{3}$. 又连结 $EC$, 分别延长$BD$ 与$CD$ 交 $EF$ 于点 $E_2$、$F_1$,
则$\angle F_1=\angle EDC-\angle DE{F}_1=\frac{\angle B}{3}$
同理$\angle E_2=\frac{\angle C}{3}$.
显然$B,C,E_2,F_1$ 共圆;
点$B,D,F,F_1$ 共圆.
$\therefore \angle E_{2}C{F}_1=\angle E_{2}B{F}_1=\angle DFE=\angle DEF$
故$D,C,E_2,E$共圆,
$\therefore \angle DCE=\angle E2=\frac{\angle C}{3}$
故 $△DEC$ 中, $\angle DEC=60°+\frac{\angle A}{3}$
又作 $\angle CEA\prime =120°+\angle B3$交$CA$ 于点$A^{\prime }$
则$\angle E{A}^{\prime }C=\frac{\angle A}{3}$, $\angle A^{\prime }EF=60°+\frac{\angle C}{3}$.又连结 $F{A}^{\prime }$并延长交$BA$ 于点$A^{″}$, 则同理可证: $\angle F{A}^{\prime }E=\frac{\angle A}{3}$
$\angle A^{″}FE=\angle A\prime FE=60°+\frac{\angle B}{3}$
从而$\angle A^{″}FB=120°+\frac{\angle C}{3},\angle B{A}^{″}F=\frac{\angle A}{3}$
又连结$A^{″}E$ , 则又同理可证 $\angle FA″E=\frac{\angle A}{3}$
$\therefore \angle F{A}^{\prime }E=\angle F{A}^{″}E=\frac{\angle A}{3}$
$\therefore$点$A^{\prime }$与$A^{″}$必重合于点$A$ , 则易知$\angle EAC=\angle FAE=\angle FAB=\frac{\angle A}{3}$
故正 $△DEF$ 是 $△ABC$ 的内角莫来三角形
证毕.
注：
证明很初等，方法不简单。